ITALIANO

- Calcolo infinitesimale per le curve
- Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali
- Calcolo Integrale per funzioni di più variabili
- Campi vettoriali
- Serie di Fourier
- Trasformata di Laplace e Trasformata di Fourier

- Bramanti M., Pagani C., Salsa S.; Analisi Matematica 2; Zanichelli
- Bramanti M., Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria; Esculapio
- Salsa S., Squellati A., Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli

Lo studente consoliderà le sue conoscenze di Analisi Matematica con applicazione allo studio e al calcolo integrale delle funzioni di più variabili a valori vettoriali.
Inoltre acquisirà i principali strumenti matematici legati al trattamento dei segnali come le serie di Fourier e le trasformate di Fourier e di Laplace; saprà svolgere calcoli elementari mediante tali trasformate e di applicarli a semplici problemi differenziali.

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale.

Il corso consiste in 72 ore di insegnamento frontale, costituite da lezioni teoriche ed esercitazioni.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Per accedere alla prova orale è necessario superare la prova scritta.

Durante il corso, è previsto lo svolgimento di due prove intercorso, a metà del corso e alla fine. Se superate con successo, queste permettono di non sostenere l'esame scritto.

Il gruppo TEAM associato all’insegnamento è il punto di riferimento on-line per tutte le informazioni e il materiale inerente al corso, tra cui: tutte le slides eventualmente usate nelle lezioni frontali; materiale per esercitazioni da svolgersi nello studio individuale che poi verrà discusso nelle esercitazioni con il docente; annunci ed avvisi sul corso; materiale per la preparazione di prove in itinere o di esami scritti; tracce scritte degli appelli precedenti.

Introduzione alla teoria delle funzioni di variabile reale a valori vettoriali. Limiti e continuità. Esempi.
Arco di curva continua. Curve chiuse, semplici e piane. Esempi. Derivata di una funzione a valori vettoriali.
Arco di curva regolare a tratti. Integrale di una funzione a valori vettoriali. Esempi. Curve rettificabili, teorema di rettificabilità, cambiamenti di parametrizzazione. Parametro d'arco.
Integrale curvilineo di prima specie. Normale principale, curvatura e raggio di curvatura per una curva. Cerchio osculatore.
Accelerazione tangenziale e normale. Formula per la curvatura di curve piane e nello spazio. Terna intrinseca.

Funzioni reali di più variabili. Grafico e curve di livello. Intorni sferici. Limite (con successioni e con intorni). Funzioni continue.
Teorema della permanenza del segno. Restrizione di una funzione ad una curva. Metodi per il calcolo dei limiti. Esempi e controesempi.
Insieme di definizione di una funzione di 2 variabili. Elementi di topologia in R^n. Insiemi aperti, chiusi. Intorni. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Insiemi definiti tramite funzioni continue. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Insiemi limitati e compatti. Teorema di Weierstrass.
Insiemi connessi per archi. Teorema degli zeri. Studio del segno di una funzione continua.

Derivate Parziali. Significato geometrico del piano tangente al grafico di una funzione di 2 variabili. Differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Esempi e controesempi.
Derivate direzionali. Formula del gradiente. Formule per il calcolo delle derivate (operazioni elementari e funzioni composte). Funzioni radiali.
Direzione di massima e minima pendenza in un grafico. Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore, differenziale secondo. Esercizi ed esempi.
Equazioni alle derivate parziali (introduzione). Formula di Taylor con resto di Lagrange e Peano.
Definizione di massimo e minimo locale e globale. Teorema di Fermat. Classificazione delle forme quadratiche. Applicazione al carattere dei punti critici.
Classificazione delle forme quadratiche (in dimensione generica). Riepilogo di autovalori e autovettori. Classificazione delle forme quadratiche attraverso gli autovalori. Stima per le forme definite, descrizione dei punti critici (criterio del secondo ordine). Strategia per la ricerca di estremi liberi.
Funzioni convesse (di più variabili). Insiemi convessi, funzioni convesse. Caratterizzazione delle funzioni convesse. Regolarità per funzioni convesse.
Caratterizzazione delle funzioni convesse rispetto all'iperpiano tangente. Ottimizzazione per funzioni convesse e concave (criterio del secondo ordine). Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini.
Esercizi ed esempi. Teorema di Dini in n-dimensioni.

Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Esempi: parametrizzazione di superfici, cambi di variabili, campi vettoriali. Limiti, continuità e differenziabilità.
Vettore normale ad una superficie, versore normale, piano tangente ad una superficie parametrizzata. Superfici grafico, superfici di rotazione.
Ottimizzazione vincolata. Vincolo esplicitabile e non esplicitabile. Teorema dei moltiplicatori di Laplace (in due dimensioni). Ottimizzazione libera per la funzione Lagrangiana.
Moltplicatori di Lagrange: interpretazione del moltiplicatore. Strategia per la ricerca di punti di estremo vincolati. Moltiplicatori di Lagrange (caso n-dimensionale).

Integrali doppi. Integrabilità su rettangoli. Metodi di riduzione per funzioni continue su rettangoli. Funzioni integrabili su domini non rettangolari.
Insiemi semplici, insiemi regolari. Insieme misurabile, insieme di misura nulla.
Proprietà elementari dell'integrale doppio. Teorema della media integrale. Calcolo degli integrali doppi di domini semplici con il metodo di riduzione. Esempi. Cambiamento di variabili per gli integrali doppi.
Teorema di invertibilità locale e definizione di diffeomorfismi. Coordinate polari. Cambiamento di coordinate di tipo ellittico per integrali doppi. Integrali doppi generalizzati: funzione gaussiana e potenza negativa della distanza dall'origine.
Formule per calcolo di integrali tripli. Integrazione per fili, integrazione per strati. Formula per cambio di variabili in integrali tripli.

Campi vettoriali e linee di campo. Operatore Rotore e operatore divergenza, campi irrotazionali e campi solenoidali. Definizione di Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Potenziale di una campo vettoriale. Lavoro di un campo conservativo. Caratterizzazione dei campi conservativi.
Campi irrotazionali e insiemi aperti semplicemente connessi. Condizioni sufficienti per l'esistenza di un potenziale. Formule di Gauss-Green nel piano. Esempi ed esercizi. Area di una superficie. Esempi notevoli (Superfici grafico, superfici di rotazione). Integrale di una funzione su una superficie regolare.
Superfici orientabili, bordo di una superficie e superfici regolari a tratti (cenni). Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Teorema della Divergenza. Applicazioni. Teorema del rotore.

Introduzione alla teoria delle serie di funzioni. Convergenza Totale. Derivazione e integrazione per serie. Serie di Potenze. Raggio di convergenza (criterio della radice e criterio del rapporto). Proprietà delle serie di potenze. Serie di Taylor e funzioni analitiche.
Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Convergenza totale e convergenza monotona. Richiami sugli spazi vettoriali con prodotto scalare (dimensione finita e non).
Coefficienti e serie di Fourier di una funzione. Approssimazione e convergenza in media quadratica. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari.
Convergenza puntuale di una serie di Fourier. Serie di Fourier in senso complesso.

Trasformata di Laplace: definizione, esempi. Semipiano di convergenza.
Proprietà della trasformata di Laplace. Esempi. Formula del ritardo. Trasformata di una funzione periodica. Trasformata di derivata e integrale di una funzione. Integrale e derivata della trasformata di una funzione. Trasformata del prodotto di convoluzione.
Risoluzione di equazioni differenziali con la trasformata di Laplace. Cenni sulla trasformata di Fourier.

Italian

- Calculus for curves
- Calculus for real functions of several variables
- Calculus for functions of several variables with vector values
- Integrals of functions of several variables
- Vector fields
- Fourier series
- Laplace transform and Fourier transform

- Bramanti M., Pagani C., Salsa S.; Analisi Matematica 2; Zanichelli
- Bramanti M., Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria; Esculapio
- Salsa S., Squellati A., Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli

The student will refine their knowledge of Calculus with application to the study and the integral calculation of functions of several variables with vector values.
The student will obtain the main mathematical tools related to the treatment of signals such as Fourier series and the Fourier and Laplace trasforms in order to apply them to simple differential problems.

Differential and Integral calculus for real functions, sequences and series, complex numbers, vectors and matrices.

The course consists in 72 hours of teaching, consisting in theoretical classes and exercises.

The exam consists in a written part and an oral part. To access to the oral part, it is necessary to pass the written part.

During the course, there will be two mid-term examinations: at half of the course and at the end. If these are passed with success, the student will only sustain the oral part of the exam.

The TEAMS platform associated with the teaching is the online reference point for all information and material relating to the course, including: All slides eventually used during the lessons; material for exercises to be carried out in the individual study which will then be discussed in the exercises with the teacher; announcements and announcements on the course; material for the preparation of ongoing tests or written exams; written tests of previous exams.

Introduction to the theory of functions of real variable with vectorial values. Limits and continuity. Examples. Continuous curve arc. Closed, simple, and planar curves. Examples. Derivative of a vector-valued function. Piecewise regular curve arc. Integral of a vector-valued function. Examples. Rectifiable curves, rectifiability theorem, parametrization changes. Arc-lenght parameter. First type line integral. Principal normal, curvature, and curvature radius for a curve. Osculating circle. Tangential and normal acceleration. Formula for the curvature of planar and spatial curves. Intrinsic frame.

Real functions of multiple variables. Graph and level curves. Spherical neighborhoods. Limit (with sequences and with neighborhoods). Continuous functions. Sign permanence theorem. Restriction of a function to a curve. Methods for limit calculation. Examples and counterexamples. Definition set of a 2-variable function. Topological elements in R^n. Open, closed sets. Neighborhoods. Interior, closure, and boundary of a set. Sets defined by continuous functions. Interior, closure, and boundary of a set. Bounded and compact sets. Weierstrass theorem. Arc-connected sets. Theorem of the zeroes. Study of the sign of a continuous function.

Partial derivatives. Geometric meaning of the tangent plane to the graph of a 2-variable function. Differentiability. Sufficient condition for differentiability. Examples and counterexamples. Directional derivatives. Gradient formula. Formulas for derivative calculation (elementary operations and composite functions). Radial functions. Direction of maximum and minimum slope on a graph. Orthogonality of the gradient to the level curves. Mean value theorem. Higher-order derivatives, second differential. Exercises and examples. Partial differential equations (introduction). Taylor formula with Lagrange and Peano remainder. Definition of local and global maximum and minimum. Fermat's theorem. Classification of quadratic forms. Application to the character of
a critical point. Classification of quadratic forms (in generic dimension). Summary of eigenvalues and eigenvectors. Classification of quadratic forms through eigenvalues. Estimation for definite forms, description of critical points (second-order criterion). Strategy for the search of free extremes. Convex functions (of multiple variables). Convex sets, convex functions. Characterization of convex functions. Regularity for convex functions. Characterization of convex functions with respect to the tangent hyperplane. Optimization for convex and concave functions (second-order criterion). Implicitly defined functions. Dini's theorem. Exercises and examples. Dini's theorem in n-dimensions.

Functions of multiple variables with vectorial values. Examples: surface parameterization, variable changes, vector fields. Limits, continuity, and differentiability. Normal vector to a surface, normal versor, tangent plane to a parameterized surface. Graph surfaces, rotation surfaces. Constrained optimization. Explicit and non-explicit constraint. Laplace's multipliers theorem (in two dimensions). Free optimization for the Lagrangian function. Lagrange multipliers: interpretation of the multiplier. Strategy for searching for constrained extremum points. Lagrange multipliers (n-dimensional case).

Double integrals. Integrability on rectangles. Reduction methods for continuous functions on rectangles. Integrable functions on non-rectangular domains. Simple sets, regular sets. Measurable set, set of zero measure. Elementary properties of the double integral. Mean value theorem. Calculation of double integrals of simple domains with the reduction method. Examples. Change of variables for double integrals. Local invertibility theorem and definition of diffeomorphisms. Polar coordinates. Change of elliptical type coordinates for double integrals. Generalized double integrals: Gaussian function and negative power of distance from the origin. Formulas for triple integral calculation. Integration for wires, integration for layers. Variable change formula in triple integrals.

Vector fields and field lines. Curl operator and divergence operator, irrotational fields and solenoidal fields. Definition of Work of a vector field along a curve. Potential of a vector field. Work of a conservative field. Characterization of conservative fields. Irrotational fields and simply connected open sets. Sufficient conditions for the existence of a potential. Gauss-Green formulas in the plane. Examples and exercises. Area of a surface. Remarkable examples (Graph surfaces, rotation surfaces). Integral of a function over a regular surface. Orientable surfaces, boundary of a surface, and piecewise regular surfaces (briefly). Flow of a vector field through an oriented surface. Divergence theorem. Applications. The rotor theorem.

Introduction to the theory of function series. Total convergence. Derivation and integration for series. Power series. Convergence radius (root criterion and ratio criterion). Properties of power series. Taylor series and analytic functions. Trigonometric polynomials and trigonometric series. Total convergence and monotone convergence. Recalls on vector spaces with scalar product (finite and non-finite dimension). Coefficients and Fourier series of a function. Approximation and mean square convergence. Fourier series of even and odd functions. Pointwise convergence of a Fourier series. Fourier series in complex sense.

Laplace transform: definition, examples. Convergence half-plane. Properties of the Laplace transform. Examples. Delay formula. Transform of a periodic function. Transform of derivative and integral of a function. Integral and derivative of the transform of a function. Transform of a convolution product. Solving differential equations with the Laplace transform. Brief overview on the Fourier transform.