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Il corso si interessa all'analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali e agli strumenti e fenomeni matematici ad esse legati.

Evans "Partial Differential Equations"

Definizione di problema ben posto. Classificazione delle equazioni di secondo ordine in ellittiche, iperboliche e paraboliche.

Equazione del trasporto. Metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto.
Metodo delle caratteristiche per equazioni del primo ordine non lineari. Equazione di Burgers.

Equazione del calore, soluzioni auto-similari per l'equazione del calore, soluzione fondamentale. Esistenza di soluzioni classiche. Esistenza di soluzioni per dati iniziali in spazi di Lebesgue.
Teorema di Weierstrass: approssimazione di funzioni continue con polinomi grazie all'equazione del calore. Equazione del calore non omogenea: principio di Duhamel. Esempio di Tychonoff di non unicità di soluzioni classiche. Principio del massimo (debole) per l'equazione del calore. Solo enunciati: proprietà del valor medio
per l'equazione del calore, principio del massimo (forte) per l'equazione del calore. Unicità della soluzione del problema di Cauchy su domini limitati. Principio del massimo per il
problema di Cauchy per l'equazione del calore in R^n, unicità per soluzioni classiche dell'equazione del calore.
Soluzioni di Barenblatt per l'equazione dei mezzi porosi.

Equazione delle onde. Energia e sua propagazione. Unicità per soluzioni classiche del problema di Cauchy. Equazione delle onde in 1D, formula di D'Alembert. Equazione delle onde in 3D: metodo delle medie sferiche. Equazione delle onde in 3D: formula di Kirchhoff. Equazione delle onde in 2D: formula di Poisson. Dipendenza continua rispetto al dato per l'equazione delle onde. Equipartizione dell'energia.

Soluzioni onde piane di PDE. Equazioni dispersive: definizioni ed esempi. Trasformata di Fourier. Risoluzione dell'equazione del calore con la trasformata di Fourier. Equazione di Schrödinger. Risoluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger con la trasformata di Fourier. Problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger in spazi di Lebesgue. Velocità infinita di propagazione.

Metodo di separazione delle variabili. Equazioni del calore, onde e Schrödinger su un dominio. Autofunzioni del laplaciano. Applicazione alle oscillazioni di una membrana.

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