ITALIANO

Il corso si propone di fornire gli strumenti matematici per disegnare il grafico di una funzione, calcolarne le derivate e l'integrale. Al termine del corso verrà fatto un breve cenno ai problemi differenziali ordinari.

Questi due libri possono essere consultati, anche se è molto importante prendere gli appunti delle lezioni:

Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa
Analisi Matematica 1,
Zanichelli, ISBN: 9788808254214 (2014)

Claudio Canuto, Anita Tabacco
Analisi Matematica 1 - teoria ed esercizi,
Springer, collana UNITEXT - La Matematica per il 3+2,
ISSN: 2038-5722 (2014)

Lo studente deve saper disegnare il grafico di una funzione, discutendone tutti gli aspetti quantitativi.
Deve inoltre saper calcolare l'integrale di funzioni elementari.

Nozioni di algebra elementare, logaritmi, trigonometria e geometria analitica.

Lezioni ed esercitazioni frontali. Studio ed esercizi individuali.

Esame scritto ed orale.

Il corso richiede un impegno costante da parte dello studente.

1) applicazioni tra insiemi:
1.a) insiemi immagine, preimagine; 1.b) iniettività, suriettività e biettività; 1.c) applicazione inversa
2) insiemi numerici, numeri:
2.a) naturali; 2.b) razionali; 2.c) irrazionali; 2.d) relativi (dotati di segno); 2.e) complessi; 2.f) massimo, minimo ed estremi superiore ed inferiore; 2.g) insiemi aperti, chiusi; 2.h) intorni e punti di accumulazione
3) richiami sulle funzioni numeriche elementari:
3.a) modulo e disuguaglianza triangolare; 3.b) logaritmo; 3.c) proprietà del logaritmo; 3.d) richiami di trigonometria;
4) vedere come è fatta una funzione utilizzando una rappresentazione grafica:
4.a) grafico di funzioni elementari; 4.b) dove esiste una funzione? e perchè può non esistere? 4.c) interpretazione grafica delle iniettività, suriettività e biettività; 4.d) funzioni limitate ed illimitate; 4.e) punti regolari e singolari
5) il concetto di limite:
5.a) in un punto al finito; 5.b) all'infinito ed asintoti orizzontali; 5.c) verificare un limite; 5.d) principali proprietà
6) a che serve il limite? Capire quanto è liscia una funzione:
6.a) continuità; 6.b) zeri di una funzione e ricerca dicotomica; 6.c) punti in cui una funzione non è più liscia: discontinuità a salto finito e di infinito; 6.d) limiti da destra e da sinistra; 6.e) asintoti verticali
7) come cambia una funzione:
7.a) l'idea di derivata; 7.b) significato geometrico, minimi e massimi; 7.c) lavorare con la derivata: principali regole di derivazione; 7.d) derivate successive; 7.e) ancora sugli zeri di una funzione, metodo di Newton; 7.f) il concetto di differenziale, funzioni linearizzabili (= differenziabili); 7.g) importanza del differenziale
8) come si può approssimare una funzione:
8.a) utilizzare un polinomio (ma ...); 8.b) utilizzare le derivate successive, cenni all'espansione in serie di Taylor; 8.c) derivate successive e concavità, convessità, punti di flesso; 8.d) calcolo di limiti di forme indeterminate
9) misurare l'area sottesa dal grafico di una funzione in un intervallo limitato:
9.a) calcolo approssimato come somma di aree di rettangoli e trapezi; 9.b) l'idea di somma integrale; 9.c) l'integrale come limite della somma integrale; 9.d) perchè l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione? 9.e) funzioni primitive 9.f) ... e se l'intervallo è illimitato?
10) lavorare con gli integrali:
10.a) proprietà dell'integrale, in particolare l'integrazione per parti; 10.b) integrazione delle funzioni elementari; 10.c) integrazione delle funzioni razionali; 10.d) ... e quando non si riesce? Integrazione numerica
11) uno sguardo ai problemi che coinvolgono le derivate di una funzione:
11.a) calcolare la traiettoria di un granello di polvere; 11.b) il problema di Cauchy del primo ordine; 11.c) ... e se invece è più pesante? Il problema del secondo ordine; 11.d) soluzione di problemi lineari

Italian

Aim of the course is to give the basic mathematical tools needed for drawing the graphic of a function, and for calculating its derivatives and its integral. At the end of the course some differential problems will be introduced. The solution of the linear ones will be discussed.

It is very important to follow the lessens and the exercises. However, these books can be consulted:

Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa
Analisi Matematica 1,
Zanichelli, ISBN: 9788808254214 (2014)

Claudio Canuto, Anita Tabacco
Analisi Matematica 1 - teoria ed esercizi,
Springer, collana UNITEXT - La Matematica per il 3+2,
ISSN: 2038-5722 (2014)

The student must be able to draw the graph of a function, and to discuss any aspect of it. The calculation of integrals of elementary functions is also required.

Elementary algebraic rules, logarithms, trigonometry and analytic geometry.

Frontal lectures and exercises. Systematic homework.

Written and oral exam.

The course requires a deep and constant commitment from the student.

1) applications between sets:
1.a) image and preimage sets; 1.b) injectivity, surjectivity and bijectivity; inverse application
2) numerical sets:
2.a) natural; 2.b) rational; 2.c) irrationals; 2.d) signed numbers; 2.e) complex; 2.f) maximum, minimum, upper and lower bounds; 2.g) open and closed sets; 2.h) neighbourhoods and accumulation points
3) elementary functions:
3.a) modulus and triangular inequality; 3.b) logarithm; 3.c) basic properties of logarithms; 3.d) basic trigonometry
4) graphical representation of a function:
4.a) graphs of elementary functions; 4.b) existence set; 4.c) graphic interpretation of injectivity, surjectivity and bijectivity; 4.d) bounded and unbounded functions; 4.e) regular and singular points
5) the idea of limit
5.a) in a point; 5.b) at infinity and horizontal asymptotes; 5.c) limit proof; 5.d) principal properties of the limit
6) the use the limit for understanding smooth functions:
6.a) continuity; 6.b) zeros of a function and their dichotomic search; 6.c) singular points: finite and infinite jumps; 6.d) right and left limits; 6.e) vertical asymptotes
7) function changes:
7.a) the idea of the derivative; 7.b) geometrical meaning, minima and maxima; 7.c) basic rules for calculating derivatives; 7.d) derivatives of higher orders; 7.e) still on the zeros of a function: Newton's method; 7.f) differential; 7.g) the importance of the differential
8) basic tools for approximating a function:
8.a) use of a polynomial (but ...); 8.b) Taylor series; 8.c) derivatives of higher orders and concavity or convexity of a function, inflexion points; 8.d) indeterminate forms and their limits
9) measuring areas:
9.a) approximate evaluation by means of rectangles and trapezoids; 9.b) the idea of integral sum; 9.c) the integral as limit of an integral sum; 9.d) why the integration is the inverse the derivation? 9.e) primitive functions; 9.f) what happens if the integration interval is unbuonded?
10) working with integrals:
10.a) basic integration rules; 10.b) integration of elementary functions; 10.c) integration of rational functions; 10.d) something about the numerical integration
11) a look at differential problems:
11.a) the problem of calculating the trajectory of a very light particle; 11.b) first order Cauchy problems; 11.c) what happens if the particle is heavy? Introduction to second orde Cauchy problems; 11.d) the solution of linear problems