ITALIANO

Il corso si propone di introdurre lo studente alla teoria degli insiemi da un punto di vista assiomatico (ZF). Saranno introdotti i cardinali e ordinali e la loro aritmetica. Il corso ha come scopo finale dimostrare la consistenza e l’indipendenza dell’assioma di scelta e del continuo da ZF.

- Hrbacek e Jech, Introduction to Set Theory
- Kunen, Set theory: An Introduction to Independence Proofs

Lo studente dovrà essere padrone delle nozioni e delle tecniche di teoria degli insiemi illustrate nel corso e di utilizzarle in applicazioni in alcuni ambiti della matematica

Conoscenze di base di Logica matematica

Lezioni frontali. Saranno inoltre assegnati esercizi che lo studente dovrà risolvere e verranno discussi in aula.

Prova scritta e orale

Richiami di logica matematica, in particolare del calcolo dei predicati. Teorema di completezza e teorema di compattezza. Gli assiomi della teoria degli insiemi nel sistema di Zermelo-Fraenkel (ZF). L'assioma di scelta (AC) e suoi equivalenti. Ordinali e cardinali, aritmetica cardinale e ordinale. Ipotesi del continuo (CH). Modelli di ZF. Insiemi costruibili e consistenza di AC e CH con ZF. Introduzione al forcing e indipendenza di AC e CH da ZF.

Italian

The course is an introduction to axiomatic set theory (ZF). Axiom of choice (AC) and its equivalents. Cardinals and ordinals and their arithmetic. Continuum Hypothesis and generalization (GCH). Constructible sets. Consistency of AC and GCH with ZF. Introduction to forcing and independence of AC and GCH from ZF.

- Hrbacek e Jech, Introduction to Set Theory
- Kunen, Set theory: An Introduction to Independence Proofs

Lo studente dovrà essere padrone Students will master the notions and the techniques of set theory, and they will be able to apply the them in various context of mathematics.

Basic notions of mathematical logic

Lectures will be delivered in class. Students will be assigned exercises to solve and the solutions will be discussed in class.

Written and oral exam

The course will start by recalling the basic notions in predicate calculus as completeness theorem and compactness theorem. Introduction of the axioms of Zermelo Fraenkel set theory (ZF). Axiom of Choice (AC) and its equivalent forms in various context of mathematics. Ordinals and cardinals and their arithmetic. Continuum Hypothesis (CH) and Generalized Continuum Hypothesis (GCH). Modelli di ZF. Constructible sets and consistency of AC and GCH with ZF. Introduction to forcing and independence of AC and GCH from ZF