ITALIANO

Programma sintetico:

Spazi vettoriali euclidei e diagonalizzazione ortogonale
Spazi affini euclidei
Movimenti
Spazi proiettivi
Coniche e Quadriche
Elementi di topologia generale

[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.
[Me2] N. Melone, Geometria Affine e Proiettiva, Appunti delle lezioni del corso di Geometria 2, a.a. 1997/1998.

Il corso intende fornire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro applicazioni geometriche, con particolare riferimento allo studio degli spazi affini euclidei, alla classificazione delle coniche e delle quadriche tridimensionali. Vengono inoltre presentati elementi di topologia generale.

Al termine del percorso formativo, lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze acquisite, che gli permetteranno di affrontare e risolvere problemi di algebra lineare, geometria euclidea e geometria proiettiva in maniera critica.

In relazione alla abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare le abilità comunicative e argomentative dello studente, affinché possa esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Geometria classica.

Conoscenze di algebra

E’ inoltre necessario aver superato gli esami di Algebra 1 e di Geometria 1.

72 ore di lezione, 36 ore di esercitazioni numeriche in aula

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

Al termine del corso lo studente dovrà superare una prova scritta (durata: 2 ore) che consiste nella risoluzione di problemi a risposta aperta di algebra lineare, geometria euclidea, classificazione di coniche e quadriche e topologia generale. La prova scritta si considera superata con la risoluzione corretta di almeno il 50% degli esercizi assegnati.

Durante la prova scritta non è consentito utilizzare testi, né materiale didattico, né strumenti informatici.

Con il superamento della prova scritta, lo studente è ammesso a sostenere dopo qualche giorno la prova orale, che verterà sul commento della prova scritta precedentemente sostenuta, e sulla verifica dell’acquisizione delle conoscenze e dei contenuti ritenuti basilari. Al termine della prova orale, lo studente consegue una votazione in trentesimi.

Per la partecipazione alle prove scritte e all’orale è necessario essere provvisti di un documento di riconoscimento in corso di validità, da esibire a richiesta.

Le tracce delle prove scritte d’esame e esercizi tematici, relativi a specifici argomenti trattati durante il corso, sono reperibili sul sito del Dipartimento
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo

Spazi vettoriali euclidei (1 CFU=8 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me1]). Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale V(R). Esempi. Definizione di lunghezza di un vettore e proprietà. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Definizione di angolo tra due vettori e proprietà. Teorema di Carnot o del coseno. Ortogonalità tra vettori e indipendenza lineare di sistemi di vettori non nulli a due a due ortogonali. Il Teorema di Pitagora. Riferimenti ortogonali ed ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ed esistenza di basi ortonormali. Matrice di Gram associata al prodotto scalare euclideo in un fissato riferimento e formule per calcolare il prodotto scalare tra due vettori, la lunghezza di un vettore, l' angolo tra due vettori in termini delle componenti dei vettori in un fissato riferimento: il caso particolare di un riferimento ortonormale e componenti di Fourier di un vettore in un riferimento ortonormale. Congruenza di matrici di Gram associate ad uno stesso prodotto scalare euclideo in due diversi riferimenti. Formule di trasformazione delle componenti tra due riferimenti ortonormali. Complemento ortogonale di un sottoinsieme e di un sottospazio vettoriale e proprietà. Applicazione ai sistemi lineari omogenei a coefficienti reali. Applicazioni ortogonali ed isometrie tra spazi vettoriali euclidei. Matrice rappresentativa di un’isometria in un riferimento ortonormale. Isometrie dirette e inverse.
Diagonalizzazione ortogonale di endomorfismi (1 CFU=8 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me1]). Richiami su endomorfismi diagonalizzabili di uno spazio vettoriale Vn(K), matrici quadrate diagonalizzabili, autovettori, autovalori e polinomio caratteristico, autospazi associati ad autovalori distinti e loro proprietà, teorema spettrale. Definizione di endomorfismo ortogonalmente diagonalizzabile di uno spazio vettoriale euclideo Vn(R) e di matrice quadrata ortogonalmente diagonalizzabile. Endomorfismi simmetrici e loro caratterizzazione. Proprietà degli autovalori di un endomorfismo simmetrico. Proprietà di ortogonalità degli autovettori associati ad autovalori distinti. Caratterizzazione degli endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili come endomorfismi simmetrici e delle matrici ortogonalmente diagonalizzabili come matrici simmetriche. Metodo per la determinazione di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo simmetrico.
Spazi Affini ed Applicazioni Affini (2 CFU=16 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me2]). Definizione di spazio affine A(S,V(K),g:S×S→V). Esempi e prime proprietà: il piano affine, lo spazio affine della geometria elementare, lo spazio affine standard su uno spazio vettoriale V(K). Il gruppo abeliano delle traslazioni di uno spazio affine. Sottospazi affini, intersezione tra sottospazi e sottospazio affine generato da un sottoinsieme. Formula di Grassmann affine. Sistemi dipendenti ed indipendenti di punti di uno spazio affine e dimensione del sottospazio affine generato da h+1 punti. Sottospazi affini paralleli, sghembi e supplementari e proprietà. Caratterizzazione in termini di dimensione mediante la Formula di Grassmann affine. Combinazioni baricentriche di punti di uno spazio affine. Riferimenti baricentrici e coordinate baricentriche di un punto di uno spazio affine di dimensione finita. Riferimenti cartesiani in uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate cartesiane dei punti. Formule del cambiamento di riferimento cartesiano. Geometria analitica in uno spazio affine di dimensione n in cui sia stato fissato un riferimento cartesiano. Equazioni ordinarie e parametriche dei sottospazi. Applicazioni affini e affinità tra spazi affini sullo stesso campo. Parte vettoriale di un'applicazione affine. Caratterizzazione delle applicazioni affini come applicazioni che conservano i punti medi e la cui parte vettoriale è lineare. Teoremi di esistenza e unicità per le applicazioni affini. Il gruppo affine e sue proprietà. Immagine di un sottospazio mediante un'applicazione affine (in particolare mediante un'affinità) e fibre di un'applicazione affine. Rango di un'applicazione affine e proprietà. Equazioni di un'applicazione affine tra spazi affini di dimensione finita in due fissati riferimenti cartesiani. Elementi uniti di un'applicazione affine di uno spazio in sé e sottospazio dei punti uniti. Omologie e loro proprietà. Omologie generali ed omologie speciali (o elazioni). Dilatazioni di uno spazio affine. Omotetie affini. Teorema di classificazione delle dilatazioni.
Spazi Affini Euclidei e Movimenti. (1,5 CFU=12 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me2]) Definizione di spazio affine euclideo E=(A(S,V(R)),σ). Funzione distanza e proprietà. Ortogonalità totale e parziale tra sottospazi e proprietà. Il sottospazio di dimensione massima passante per un fissato punto P e totalmente ortogonale ad un sottospazio fissato L: proiezione ortogonale di P su L e distanza di P da L. Caratterizzazione dell’insieme dei punti dello spazio affine euclideo equidistanti da due fissati punti. Riferimenti cartesiani ortonormali e geometria analitica. Condizioni analitiche di ortogonalità tra sottospazi affini. Il gruppo dei movimenti di uno spazio affine euclideo di dimensione finita: simmetrie ortogonali di asse un iperpiano e teorema di Cartan-Dieudonné. Movimenti diretti e inversi. Classificazione dei movimenti del piano affine euclideo.
Spazi proiettivi. (1 CFU=8 ore Lezioni) ([Me2]) Proiezione di un insieme da un punto su un sottospazio. Lo spazio proiettivo PG(V(K))=(S,V(K),p:V\{0}®S) associato ad uno spazio vettoriale V(K) su un campo K. Lo spazio proiettivo numerico. L’ampliamento proiettivo di uno spazio affine: le direzioni delle rette come punti all'infinito o impropri. Sottospazi proiettivi e proprietà. Intersezione di sottospazi. Sottospazio generato da un sottoinsieme di punti e proprietà. Congiungente di sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva. Sistemi di punti dipendenti e indipendenti e proprietà. Proprietà grafiche negli spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi e riferimenti vettoriali normalizzati associati. Coordinate proiettive omogenee di un punto. Formule del cambiamento di riferimento proiettivo. Rappresentazione ordinaria e parametrica dei sottospazi proiettivi. Equazione ordinaria dell’iperpiano improprio nell’ampliamento proiettivo di uno spazio affine. Passaggio dalle coordinate proiettive omogenee alle coordinate cartesiane per i punti propri dell’ampliamento proiettivo.
Forme lineari di uno spazio vettoriale V(K). Lo spazio vettoriale V*(K) duale di V(K) e proprietà. Riferimento vettoriale duale di un riferimento di V(K). Caratterizzazione degli iperpiani di PG(V(K)) come proiezioni di nuclei di forme lineari su V(K). Lo spazio proiettivo PG*(V*(K))=(S*,V*(K),p*:V*\{0}®S*) duale di PG(V(K)). Stelle di iperpiani. Caratterizzazione dei punti proiettivamente indipendenti in PG*(V*(K)). Caratterizzazione dei sottospazi: il Teorema della Stella. Proprietà delle stelle di iperpiani rispetto all’inclusione, all’intersezione, al congiungente. Proprietà grafiche nello spazio proiettivo duale. Riferimento proiettivo duale di un riferimento di PG(V(K)) e geometria analitica nello spazio proiettivo duale. Legame tra l’equazione di un iperpiano di PG(V(K)) in un riferimento proiettivo e le coordinate proiettive omogenee dell’iperpiano come punto di PG*(V*(K)) nel riferimento duale. Cenni sulle omografie tra spazi proiettivi: definizione e prime proprietà. Il gruppo proiettivo PGL(V(K)), costituito dalle omografie di PG(V(K)) in sé.
Quadriche di uno spazio proiettivo. (1,5 CFU=12 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([CGG]) Quadriche di uno spazio proiettivo sul campo reale. Quadriche degeneri e non degeneri, riducibili e non riducibili. Matrice di una quadrica in un fissato riferimento proiettivo. Classificazione proiettiva delle quadriche della retta reale, del piano proiettivo reale e dello spazio proiettivo tridimensionale reale (senza dimostrazione). Intersezione tra una retta e una quadrica. Molteplicità di intersezione in un punto tra una retta ed una quadrica. Rette tangenti. Punti semplici e doppi. Iperpiano tangente ad una quadrica in un suo punto semplice e sua caratterizzazione. Caratterizzazione analitica dei punti doppi di una quadrica: il vertice di una quadrica. Polarità definita da una quadrica non degenere e proprietà. Teorema di reciprocità. Punti coniugati rispetto ad una quadrica non degenere. Centro di simmetria di una quadrica non degenere e coordinate del centro di simmetria. Classificazione affine delle coniche reali non degeneri. Proprietà di simmetria delle coniche reali non degeneri: centro, assi di simmetria, diametri, asintoti e vertici. Classificazione dei punti semplici di una quadrica irriducibile dello spazio proiettivo tridimensionale reale: punti parabolici, ellittici ed iperbolici. Caratterizzazione dei coni quadrici come quadriche reali a punti semplici parabolici. Classificazione affine delle quadriche irriducibili reali dello spazio affine tridimensionale. Studio delle sezioni di una quadrica irriducibile con un piano reale non tangente e non passante per il vertice. Proprietà di simmetria delle quadriche reali non degeneri: centro, piani di simmetria e piani principali. Proprietà delle schiere di rette di una quadrica a punti iperbolici.
Introduzione alla topologia (1 CFU=8 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) Definizione di spazio topologico. Topologia banale e discreta. Definizione di topologia piu` o meno fine di un’altra. Esempi: Topologia naturale su R, topologia dei chiusi a sinistra e aperti a destra ( risp. degli aperti a sinistra e chiusi a destra), topologia delle semirette sinistre ( risp. destre ) aperte (risp. chiuse), topologia naturale su Rn. Topologia con 3 aperti su un insieme S, topologia del tiro al bersaglio, topologia cofinita su S. Definizione di chiuso. Proprieta`. Caratterizzazione di uno spazio topologico mediante i chiusi. Definizione di varietà algebrica. Topologia di Zariski in Cn. Chiusura di un insieme e proprietà. Operatore di Kuratowsky. Interiore di un insieme e prorieta`. Operatore di passaggio all’interiore. Intorno di un punto. Base Basi di uno spazio topologico e caratterizzazione di uno spazio topologico mediante le basi. Punti di aderenza e di accumulazione. Derivato di un insieme e punti isolati. Definizione di insieme perfetto e denso. Trasformazioni tra spazi topologici. Funzioni continue e caratterizzazioni delle funzioni continue. Funzioni aperte. Omeomorfismi. Assiomi di separazione e di numerabilità in uno spazio topologico. Spazi connessi. Connessione in (R,n).

Italian

- Euclidean vector spaces and orthogonal diagonalization
- Affine spaces
- Euclidean affine spaces
- Isometries
- Projective spaces
- Conics and quadrics
- Elements of general topology

[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.
[Me2] N. Melone, Geometria Affine e Proiettiva, Appunti delle lezioni del corso di Geometria 2, a.a. 1997/1998.

knowledge of the main properties of vector spaces with inner products and of euclidean spaces, and their transformations; classification of conics and quadrics. Apply the acquired knowledges in order to solve problems in linear algebra, euclidean geometry and general topology

Algebra 1 and Geometry 1

72 hours of frontal lessons and 36 hours of practical lessons

Attendance is not mandatory, but strongly suggested.

At the end of the course, there will be a written examination (2 hours) concerning linear algebra, euclidean geometry, classification of conics and quadrics. With the correct resolution of at least 50% of the assigned exercises, the student will support the oral examination, by discussing the previously written test, and testing the acquisition of the knowledge and content considered basic for the course

Written exam tests and thematic exercises, related to specific topics covered during the course, can be found on the Department's website
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
under the heading "Materiale Didattico" which leads to the SharePoint of the University