ITALIANO

Programma sintetico:

Forme bilineari e quadratiche
Spazi affini euclidei
Movimenti
Spazi proiettivi
Coniche e Quadriche
Elementi di topologia generale

[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.
[Me2] N. Melone, Geometria Affine e Proiettiva, Appunti delle lezioni del corso di Geometria 2, a.a. 1997/1998.

Il corso intende fornire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro applicazioni geometriche, con particolare riferimento allo studio degli spazi affini euclidei, alla classificazione delle coniche e delle quadriche tridimensionali. Vengono inoltre presentati elementi di topologia generale.

Al termine del percorso formativo, lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze acquisite, che gli permetteranno di affrontare e risolvere problemi di algebra lineare, geometria euclidea e geometria proiettiva in maniera critica.

In relazione alla abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare le abilità comunicative e argomentative dello studente, affinché possa esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Geometria classica.

Conoscenze di algebra

E’ inoltre necessario aver superato gli esami di Algebra 1 e di Geometria 1.

72 ore di lezione, 36 ore di esercitazioni numeriche in aula

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

Al termine del corso lo studente dovrà superare una prova scritta (durata: 2 ore) che consiste nella risoluzione di problemi a risposta aperta di algebra lineare, geometria euclidea, classificazione di coniche e quadriche e topologia generale. La prova scritta si considera superata con la risoluzione corretta di almeno il 50% degli esercizi assegnati.

Durante la prova scritta non è consentito utilizzare testi, né materiale didattico, né strumenti informatici.

Con il superamento della prova scritta, lo studente è ammesso a sostenere dopo qualche giorno la prova orale, che verterà sul commento della prova scritta precedentemente sostenuta, e sulla verifica dell’acquisizione delle conoscenze e dei contenuti ritenuti basilari. Al termine della prova orale, lo studente consegue una votazione in trentesimi.

Per la partecipazione alle prove scritte e all’orale è necessario essere provvisti di un documento di riconoscimento in corso di validità, da esibire a richiesta.

Le tracce delle prove scritte d’esame e esercizi tematici, relativi a specifici argomenti trattati durante il corso, sono reperibili sul sito del Dipartimento
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo

Forme bilineari e quadratiche (1,5 CFU=12 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me1]). Forme bilineari su campi di caratteristica diversa da due. Forme simmetriche e simplettiche. Spazi di forme bilineari e proprietà. Sottospazi radicali, cono isotropo e modelli numerici. Riferimenti ortogonali e simplettici. Teorema di Lagrange. Riferimenti canonici e forme canoniche. Teorema di Sylvester. Complemento ortogonale di un sottospazio e metodi per determinarlo. Isometrie e teorema di classificazione a meno di isometrie. Matrice associata a un’isometria vettoriale e proprietà. Isometrie dirette e inverse. Algoritmo di Lagrange. Riferimenti regolari e Teorema di Jacobi (senza dimostrazione). Forme quadratiche. Teorema di caratterizzazione delle forme quadratiche reali non degeneri indefinite. Forme quadratiche definite positive e definite negative. Algoritmo del completamento dei quadrati.

Spazi Affini e Applicazioni Affini (2,5 CFU=20 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) ([Me2]). Definizione di spazio affine A(S, V(K), g:S×S→V). Esempi e prime proprietà: il piano affine, lo spazio affine della geometria elementare, lo spazio affine standard su uno spazio vettoriale V(K). Il gruppo abeliano delle traslazioni di uno spazio affine. Sottospazi affini, intersezione tra sottospazi e sottospazio affine generato da un sottoinsieme. Formula di Grassmann affine. Sistemi dipendenti ed indipendenti di punti di uno spazio affine e dimensione del sottospazio affine generato da h+1 punti. Sottospazi affini paralleli, sghembi e supplementari e proprietà. Caratterizzazione in termini di dimensione mediante la Formula di Grassmann affine. Combinazioni baricentriche di punti di uno spazio affine. Riferimenti baricentrici e coordinate baricentriche di un punto di uno spazio affine di dimensione finita. Riferimenti cartesiani in uno spazio affine di dimensione finita. Coordinate cartesiane dei punti. Formule del cambiamento di riferimento cartesiano. Geometria analitica in uno spazio affine di dimensione n in cui sia stato fissato un riferimento cartesiano. Equazioni ordinarie e parametriche dei sottospazi. Applicazioni affini e affinità tra spazi affini sullo stesso campo. Parte vettoriale di un'applicazione affine. Caratterizzazione delle applicazioni affini come applicazioni che conservano i punti medi e la cui parte vettoriale è lineare. Teoremi di esistenza e unicità per le applicazioni affini. Il gruppo affine e sue proprietà. Immagine di un sottospazio mediante un'applicazione affine (in particolare mediante un'affinità) e fibre di un'applicazione affine. Rango di un'applicazione affine e proprietà. Equazioni di un'applicazione affine tra spazi affini di dimensione finita in due fissati riferimenti cartesiani. Elementi uniti di un'applicazione affine di uno spazio in sé e sottospazio dei punti uniti. Omologie e loro proprietà. Omologie generali ed omologie speciali (o elazioni). Dilatazioni di uno spazio affine. Omotetie affini. Teorema di classificazione delle dilatazioni.

Spazi Affini Euclidei e Movimenti. (2 CFU=16 ore Lezioni/1 CFU=12 ore Esercitazioni) ([Me2]) Definizione di spazio affine euclideo E=(A(S,V(R)),σ). Funzione distanza e proprietà. Ortogonalità totale e parziale tra sottospazi e proprietà. Il sottospazio di dimensione massima passante per un fissato punto P e totalmente ortogonale ad un sottospazio fissato L: proiezione ortogonale di P su L e distanza di P da L. Caratterizzazione dell’insieme dei punti dello spazio affine euclideo equidistanti da due fissati punti. Riferimenti cartesiani ortonormali e geometria analitica. Condizioni analitiche di ortogonalità tra sottospazi affini. Il gruppo dei movimenti di uno spazio affine euclideo di dimensione finita: simmetrie ortogonali di asse un iperpiano e teorema di Cartan-Dieudonné. Movimenti diretti e inversi. Classificazione dei movimenti del piano affine euclideo.

Spazi proiettivi. (1 CFU=8 ore Lezioni) ([Me2]) Proiezione di un insieme da un punto su un sottospazio. Lo spazio proiettivo PG(V(K))=(S,V(K),p:V\{0}®S) associato ad uno spazio vettoriale V(K) su un campo K. Lo spazio proiettivo numerico. L’ampliamento proiettivo di uno spazio affine: le direzioni delle rette come punti all'infinito o impropri. Sottospazi proiettivi e proprietà. Intersezione di sottospazi. Sottospazio generato da un sottoinsieme di punti e proprietà. Congiungente di sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva. Sistemi di punti dipendenti e indipendenti e proprietà. Proprietà grafiche negli spazi proiettivi. Riferimenti proiettivi e riferimenti vettoriali normalizzati associati. Coordinate proiettive omogenee di un punto. Formule del cambiamento di riferimento proiettivo. Rappresentazione ordinaria e parametrica dei sottospazi proiettivi. Equazione ordinaria dell’iperpiano improprio nell’ampliamento proiettivo di uno spazio affine. Passaggio dalle coordinate proiettive omogenee alle coordinate cartesiane per i punti propri dell’ampliamento proiettivo.
Forme lineari di uno spazio vettoriale V(K). Lo spazio vettoriale V*(K) duale di V(K) e proprietà. Riferimento vettoriale duale di un riferimento di V(K). Caratterizzazione degli iperpiani di PG(V(K)) come proiezioni di nuclei di forme lineari su V(K). Lo spazio proiettivo PG*(V*(K))=(S*,V*(K),p*:V*\{0}®S*) duale di PG(V(K)). Stelle di iperpiani. Caratterizzazione dei punti proiettivamente indipendenti in PG*(V*(K)). Caratterizzazione dei sottospazi: il Teorema della Stella. Proprietà delle stelle di iperpiani rispetto all’inclusione, all’intersezione, al congiungente. Proprietà grafiche nello spazio proiettivo duale. Riferimento proiettivo duale di un riferimento di PG(V(K)) e geometria analitica nello spazio proiettivo duale. Legame tra l’equazione di un iperpiano di PG(V(K)) in un riferimento proiettivo e le coordinate proiettive omogenee dell’iperpiano come punto di PG*(V*(K)) nel riferimento duale. Cenni sulle omografie tra spazi proiettivi: definizione e prime proprietà. Il gruppo proiettivo PGL(V(K)), costituito dalle omografie di PG(V(K)) in sé.

Quadriche di uno spazio proiettivo. (2 CFU=16 ore Lezioni/1 CFU=12 ore Esercitazioni) ([CGG]) Quadriche di uno spazio proiettivo sul campo reale. Quadriche degeneri e non degeneri, riducibili e non riducibili. Matrice di una quadrica in un fissato riferimento proiettivo. Classificazione proiettiva delle quadriche della retta reale, del piano proiettivo reale e dello spazio proiettivo tridimensionale reale. Equazioni canoniche e riduzione a forma canonica proiettivamente equivalente con il metodo di Jacobi e con l’algoritmo del completamento dei quadrati. Intersezione tra una retta e una quadrica. Molteplicità di intersezione in un punto tra una retta ed una quadrica. Rette tangenti. Punti semplici e doppi. Iperpiano tangente ad una quadrica in un suo punto semplice e sua caratterizzazione. Caratterizzazione analitica dei punti doppi di una quadrica: il vertice di una quadrica. Polarità definita da una quadrica non degenere e proprietà. Teorema di reciprocità. Punti coniugati rispetto ad una quadrica non degenere. Classificazione affine e metrica delle quadriche reali, equazioni canoniche e riduzione a forma canonica metricamente equivalente mediante la diagonalizzazione ortogonale della matrice della parte all’infinito della quadrica. Riduzione a forma canonica affinemente equivalente. Centro di simmetria di una quadrica non degenere e coordinate del centro di simmetria. Classificazione affine delle coniche reali non degeneri. Proprietà di simmetria delle coniche reali non degeneri: centro, assi di simmetria, diametri, asintoti e vertici. Classificazione dei punti semplici di una quadrica irriducibile dello spazio proiettivo tridimensionale reale: punti parabolici, ellittici ed iperbolici. Caratterizzazione dei coni quadrici come quadriche reali a punti semplici parabolici. Studio delle sezioni di una quadrica irriducibile con un piano reale non tangente e non passante per il vertice. Proprietà di simmetria delle quadriche reali non degeneri: centro, piani di simmetria e piani principali. Proprietà delle schiere di rette di una quadrica a punti iperbolici.

Italian

- Bilinear and quadratic forms
- Affine spaces
- Euclidean affine spaces
- Isometries
- Projective spaces
- Conics and quadrics
- Elements of general topology

[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.
[Me2] N. Melone, Geometria Affine e Proiettiva, Appunti delle lezioni del corso di Geometria 2, a.a. 1997/1998.

knowledge of the main properties of vector spaces with inner products and of euclidean spaces, and their transformations; classification of conics and quadrics. Apply the acquired knowledges in order to solve problems in linear algebra, euclidean geometry and general topology

Algebra 1 and Geometry 1

72 hours of frontal lessons and 36 hours of practical lessons

Attendance is not mandatory, but strongly suggested.

At the end of the course, there will be a written examination (2 hours) concerning linear algebra, euclidean geometry, classification of conics and quadrics. With the correct resolution of at least 50% of the assigned exercises, the student will support the oral examination, by discussing the previously written test, and testing the acquisition of the knowledge and content considered basic for the course

Written exam tests and thematic exercises, related to specific topics covered during the course, can be found on the Department's website
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
under the heading "Materiale Didattico" which leads to the SharePoint of the University

Bilinear and quadratic forms (1.5 CFU = 12 hours Lectures / 0.5 CFU = 6 hours Exercises) ([Me1]). Bilinear forms on fields of characteristics different from two. Symmetric and symplectic forms. Spaces of bilinear forms and properties. Radical subspaces, isotropic cone and numerical models. Orthogonal and symplectic frames. Lagrange’s theorem. Canonical frames and canonical forms. Sylvester's theorem. Orthogonal complement of a subspace and methods to determine it. Isometries and classification theorem up to isometries. Matrix associated with a vector isometry and properties. Direct and inverse isometries. Lagrange's algorithm. Regular frames and Jacobi's theorem (without proof). Quadratic forms. Characterization theorem of real non-degenerate indefinite quadratic forms. Positive definite and negative definite quadratic forms. Algorithm for completing squares.
Affine Spaces and Affine Applications (2.5 CFU=20 hours Lectures/0.5 CFU=6 hours Exercises) ([Me2]). Definition of affine space A(S, V(K), g:S×S→V). Examples and first properties: the affine plane, the affine space of elementary geometry, the standard affine space on a vector space V(K). The Abelian group of translations of an affine space. Affine subspaces, intersection between subspaces and an affine subspace generated by a subset. Affine Grassmann formula. Dependent and independent systems of points of an affine space and dimension of the affine subspace generated by h+1 points. Parallel, skew and supplementary affine subspaces and properties. Characterization in terms of dimension using the affine Grassmann formula. Barycentric combinations of points in an affine space. Barycentric references and barycentric coordinates of a point in a finite-dimensional affine space. Cartesian references in a finite-dimensional affine space. Cartesian coordinates of points. Formulas for the Cartesian change of reference. Analytic geometry in an n-dimensional affine space in which a Cartesian reference has been fixed. Ordinary and parametric equations of subspaces. Affine applications and affinities between affine spaces over the same field. Vector part of an affine application. Characterization of affine applications as applications that preserve midpoints and whose vector part is linear. Existence and uniqueness theorems for affine maps. The affine group and its properties. Image of a subspace by an affine map (in particular by an affinity) and fibers of an affine map. Rank of an affine map and properties. Equations of an affine map between affine spaces of finite dimension in two fixed Cartesian frames. United elements of an affine map of a space in itself and subspace of the united points. Homologies and their properties. General homologies and special homologies (or elations). Dilations of an affine space. Affine homotheties. Classification theorem of dilations.
Euclidean Affine Spaces and Motions. (2 CFU=16 hours Lectures/1 CFU=12 hours Exercises) ([Me2]) Definition of Euclidean affine space E=(A(S,V(R)),σ). Distance function and properties. Total and partial orthogonality between subspaces and properties. The maximum-dimensional subspace passing through a fixed point P and totally orthogonal to a fixed subspace L: orthogonal projection of P onto L and distance of P from L. Characterization of the set of points of Euclidean affine space equidistant from two fixed points. Orthonormal Cartesian references and analytical geometry. Analytical conditions of orthogonality between affine subspaces. The group of motions of a finite-dimensional Euclidean affine space: orthogonal symmetries of a hyperplane axis and Cartan-Dieudonné theorem. Direct and inverse motions. Classification of motions of the affine Euclidean plane.
Projective spaces. (1 CFU=8 hours Lessons) ([Me2]) Projection of a set from a point onto a subspace. The projective space PG(V(K))=(S,V(K),p:V\{0}→S) associated with a vector space V(K) over a field K. The numerical projective space. The projective expansion of an affine space: the directions of lines as points at infinity or improper. Projective subspaces and properties. Intersection of subspaces. Subspace generated by a subset of points and properties. Joining of projective subspaces. Projective Grassmann formula. Systems of dependent and independent points and properties. Graphic properties in projective spaces. Projective references and associated normalized vector references. Homogeneous projective coordinates of a point. Formulas for the change of projective reference. Ordinary and parametric representation of projective subspaces. Ordinary equation of the improper hyperplane in the projective expansion of an affine space. Transition from homogeneous projective coordinates to Cartesian coordinates for the proper points of the projective expansion.
Linear forms of a vector space V(K). The vector space V*(K) dual of V(K) and properties. Dual vector reference of a reference of V(K). Characterization of hyperplanes of PG(V(K)) as projections of kernels of linear forms onto V(K). The projective space PG*(V*(K))=(S*,V*(K),p*:V*\{0}→S*) dual of PG(V(K)). Stars of hyperplanes. Characterization of projectively independent points in PG*(V*(K)). Characterization of subspaces: the Star Theorem. Properties of stars of hyperplanes with respect to inclusion, intersection, and joining. Graphical properties in the dual projective space. Dual projective reference of a reference of PG(V(K)) and analytic geometry in the dual projective space. Relation between the equation of a hyperplane of PG(V(K)) in a projective reference frame and the homogeneous projective coordinates of the hyperplane as a point of PG*(V*(K)) in the dual reference frame. Notes on homographies between projective spaces: definition and first properties. The projective group PGL(V(K)), consisting of the homographies of PG(V(K)) in itself.
Quadrics of a projective space. (2 CFU=16 hours Lessons/1 CFU=12 hours Exercises) ([CGG]) Quadrics of a projective space on the real field. Degenerate and non-degenerate quadrics, reducible and non-reducible. Matrix of a quadric in a fixed projective reference frame. Projective classification of quadrics of the real line, of the real projective plane and of the real three-dimensional projective space. Canonical equations and reduction to projectively equivalent canonical form with the Jacobi method and the completion of squares algorithm. Intersection between a line and a quadric. Multiple intersections at a point between a line and a quadric. Tangent lines. Simple and double points. Hyperplane tangent to a quadric at one of its simple points and its characterization. Analytical characterization of the double points of a quadric: the vertex of a quadric. Polarity defined by a non-degenerate quadric and properties. Reciprocity theorem. Conjugate points with respect to a non-degenerate quadric. Affine and metric classification of real quadrics, canonical equations and reduction to metrically equivalent canonical form by orthogonal diagonalization of the matrix of the part at infinity of the quadric. Reduction to affinely equivalent canonical form. Center of symmetry of a non-degenerate quadric and coordinates of the center of symmetry. Affine classification of real non-degenerate conics. Symmetry properties of real non-degenerate conics: center, axes of symmetry, diameters, asymptotes and vertices. Classification of simple points of an irreducible quadric of real three-dimensional projective space: parabolic, elliptic and hyperbolic points. Characterization of quadric cones as real quadrics with parabolic simple points. Study of the sections of an irreducible quadric with a real plane that is not tangent and does not pass through the vertex. Symmetry properties of real non-degenerate quadrics: center, planes of symmetry and principal planes. Properties of arrays of lines of a quadric with hyperbolic points.