ITALIANO

Programma sintetico

-Successioni e serie di funzioni

-Spazi metrici e spazi di Banach. Successioni e funzioni continue.
Lo spazio R^n

-Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Calcolo differenziale

-Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy

-Curve e integrali curvilinei


-Forme differenziali lineari. Campi vettoriali. Lavoro

-Integrali multipli

-Superfici e integrali di superficie

-Funzioni implicite

1) N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli Editore, 2020. 2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009. 3) E. Giusti, Analisi Matematica Due, Bollati Boringhieri Editore, 2003. Per gli esercizi: 4) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, parte prima e parte seconda, Zanichelli Editore 2017. 5) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009. 6) E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Bollati Boringhieri Editore, 1992. 7) J. Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html)

Obiettivo del corso è fare acquisire agli studenti una buona conoscenza della teoria e delle applicazioni del calcolo differenziale per funzioni di più variabili, delle serie di funzioni, del calcolo integrale per funzioni di più variabili, delle forme differenziali e degli integrali curvilinei, e delle equazioni differenziali.
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno avere acquisito familiarità con i concetti relativi ai vari punti del programma, dimostrare di essere in grado di esporli con chiarezza e di applicarli.

L’approccio al programma formativo richiede la conoscenza degli strumenti propri dell’Analisi Matematica 1 e della Geometria 1, in particolare dell’algebra lineare, della geometria analitica, e del calcolo infinitesimale e differenziale in una variabile.
Per sostenere le prove d’esame (scritta e orale), lo studente deve aver superato gli esami di Analisi Matematica 1 e di Geometria 1.

Il corso è articolato in 72 ore di lezione frontali e 36 ore di esercitazioni.
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente incoraggiata.

L'esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Sia per partecipare alla prova scritta che per partecipare alla prova orale è necessario esibire, subito prima dell’inizio delle stesse, un documento di riconoscimento in corso di validità. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria, ma non sufficiente, per il superamento dell’esame. Il superamento della prova scritta garantisce solo l’ammissione (con giudizio sufficiente, discreto, buono, ottimo) all’esame orale. Il voto sarà assegnato all’esame orale in trentesimi.
La prova scritta, della durata di circa 2 ore, si svolge in aula e consiste nella risoluzione di un numero di esercizi su argomenti del programma che può variare da cinque a sette, per un pari peso totale. Non è consentito usare calcolatrice e consultare testi e/o materiali didattici. Eventualmente, a discrezione del docente, saranno previste due prove intercorso, e ci sarà l’esonero dalla prova scritta per gli studenti che avranno frequentato regolarmente le lezioni e le esercitazioni e avranno superato le due prove intercorso. Queste ultime, eventualmente, si terranno una a metà corso e una a fine corso, e consisteranno nello svolgimento di esercizi sulla prima metà del programma e sulla seconda metà del programma, rispettivamente.
La prova orale consiste nella trattazione e nella discussione di argomenti del programma svolto a lezione.
L’esame mira a verificare il livello di familiarità con i concetti relativi ai vari punti del programma, la capacità di esporli con chiarezza e di applicarli.

Le tracce delle prove scritte d’esame, ed eventuale ulteriore materiale didattico, sono reperibili sul sito del Dipartimento
(https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041)
alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo,
sulla piattaforma e-learning unicampania (https://elearning.unicampania.it)
e
sulla piattaforma Microsoft Teams.

-Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier

-Spazi metrici e spazi di Banach. Successioni e funzioni continue.
Lo spazio R^n. Spazi metrici. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Lo spazio vettoriale R^n e il suo duale. Spazi normati. Lo spazio normato R^n. Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Funzioni Lipschitziane. Contrazioni.
Insiemi compatti. Funzioni continue su insiemi compatti.
Aperti connessi in R^n

-Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Calcolo differenziale
Nozioni di topologia in R^n. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Gradiente. Differenziabilità. Derivate direzionali. Funzioni omogenee.
Formula di Taylor per funzioni di più variabili al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano.
Forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi. Funzioni a valori vettoriali

-Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy
Integrale generale di una equazione differenziale lineare. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Il teorema di esistenza e unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni. Analisi qualitativa delle soluzioni

-Curve e integrali curvilinei
Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriale in R^3

-Forme differenziali lineari. Campi vettoriali. Lavoro
Campi conservativi.
Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Campi irrotazionali

-Integrali multipli
Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione. Formule di Gauss- Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli

-Superfici e integrali di superficie
Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametri.
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie. Formula di Stokes. Teorema della divergenza

-Funzioni implicite
I teoremi di Dini. Invertibilità locale e globale. Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange

Italian

Synthetic Syllabus

- Sequences and series of functions

- Metric spaces and Banach spaces. Sequences and continuous functions.
The space R^n

- Functions of several variables. Limits. Continuity. Differential calculus

- Ordinary differential equations. Cauchy problem

- Curves and line integrals

- Linear differential forms. Vector fields. Work

- Multiple integrals

- Surfaces and surface integrals

- Implicit functions

1) N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Editor Zanichelli, 2020. 2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Editor Zanichelli, 2009. 3) E. Giusti, Analisi Matematica Due, Editor Bollati Boringhieri, 2003. For exercises: 4) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, parte prima e parte seconda, Editor Zanichelli, 2017. 5) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica due, Editor Zanichelli, 2009. 6) E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Editor Bollati Boringhieri, 1992. 7) J. Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html)

The aim of the course is to provide the students with a good knowledge of the theory and the applications of differential calculus for functions of several variables, of series of functions, of integral calculus for functions of several variables, of differential forms and of curvilinear integrals, and of differential equations.
At the end of the course, the students will be acquainted with the concepts related to the various points of the program, and they will have to demonstrate to be able to explain them clearly and to apply them.

The approach to the program requires knowledge of the tools of Mathematical Analysis 1 and of Geometry 1, in particular linear algebra, analytical geometry, and infinitesimal and differential calculus in one variable.
In order to pass the exam (written and oral), the student must have passed Mathematical Analysis 1 and Geometry 1.

The course is divided into 72 hours of lectures and 36 hours of exercises, all held in the classroom.
Attendance is not mandatory but strongly encouraged.

The exam includes a written and an oral part, both mandatory. Both, to participate in the written test and to participate in the oral exam, a valid ID document must be shown immediately before.
Passing the written test is a necessary but not sufficient condition for passing the exam. Passing the written test only guarantees access (with evaluation: sufficient, discreet, good, very good, excellent) in the oral examination.
The grade will be assigned after the oral examination, using a 0–30 scale (where the passing grade is 18 out of 30).

The written test, that lasts about 2 hours, takes place in the classroom and consists in the resolution of a number of exercises, that can vary from five to seven, for an equal total weight, on topics of the program. It is not allowed to use a calculator and consult books and/or teaching material. Eventually, at the discretion of the professor, optional intermediate written tests will be planned for the students who will regularly attend the course. The students who will pass them will only be guaranteed the admission (full, with reserve, or with extreme reserve) to the oral examination. These will be, eventually, held one in the middle and one at the end of the course, and will consist of exercises on the first half of the program and on the second half of the program, respectively.
The oral exam consists in the discussion of topics of the program carried out in the course.
The exam aims to verify the level of familiarity with the concepts related to the various points of the program, the ability to expose them clearly and to apply them.

The exercises of the written tests, and any additional teaching material, can be found on the Department's website (http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041), under the heading "Educational Material" (Materiale Didattico) which leads to the SharePoint of the University,
on the unicampania e-learning platform (https://elearning.unicampania.it)
and
on the Microsoft Teams platform.

- Sequences and series of functions
Sequences of functions: pointwise and uniform convergence. Series of
functions. Power series. Taylor series. Fourier series.

- Metric spaces and Banach spaces Sequences and continuous functions
The space R^n. Metric spaces. Sequences in a metric space. Continuous
functions. Vector spaces. Linear maps. The vector space R^n and
its dual. Normed spaces. The normed space R^n. Complete metric
spaces. Banach spaces. Lipschitz functions. Contractions. Compact sets.
Continuous functions on compact sets.
Connected open sets in R^n

- Functions of several variables. Limits. Continuity. Differential calculus
Notions of topology in R^n. Limits and continuity. Partial derivatives.
Higher order derivatives. Gradient. Differentiability. Directional
derivatives. Homogeneous functions.
Second order Taylor’s formula for functions of several variables with
Lagrange’s form of the remainder and with Peano’s form of the
remainder.
Definite quadratic forms, semidefinite and indefinite. Relative maxima
and relative minima. Vector valued functions

- Ordinary differential equations. Cauchy problem
The general integral of a linear differential equation.
Cauchy problem. Cauchy theorem of existence and local uniqueness. The
theorem of existence and global uniqueness. Extensibility of solutions.
Qualitative analysis of solutions

- Curves and line integrals
Regular curves. Oriented curves. Length of a curve. Line integral of a
function. Curvature of a plane curve. The vector product in R^3

- Linear differential forms. Vector fields. Work
Conservative fields. Linear differential forms. Curvilinear integral of a
linear differential form. Exact differential forms. Irrotational fields

- Multiple integrals
Double integrals on normal domains. Reduction formulas. Gauss-Green
formulas. Divergence theorem. Stokes formula. Change of variables in
double integrals. Triple integrals

- Surfaces and surface integrals
Regular surfaces. Local coordinates and change of parameters. Tangent
plan and normal unit vector. Area of a surface. Orientable surfaces. Surfaces
with boundary. Surface integrals. Stokes formula. Divergence theorem

- Implicit functions
Dini's theorems. Local and global invertibility. Constrained maxima and
minima. Lagrange multipliers