ITALIANO

Programma sintetico:
- Generalità su gruppi, anelli e campi.
- Vettori numerici e matrici su un campo K.
- Sistemi di equazioni lineari.
- Spazi vettoriali su un campo K.
- Applicazioni lineari
- Diagonalizzazione
-Spazi vettoriali euclidei, diagonalizzazione ortogonale
- Elementi di Geometria Analitica nel piano euclideo E2 e nello spazio euclideo E3.

TEORIA
- M. Abate, Chiara de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw-Hill. (per la parte relativa alle coniche come luoghi geometrici)
- M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo.
- N. Melone: Introduzione ai metodi di Algebra lineare, CUEN.
ESERCIZI
- A. Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo.
- G. Campanella: Esercizi di Algebra lineare e Geometria, volumi 1,2,3,4,5,8, Aracne.

Obiettivi formativi e risultati di apprendimento attesi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
Il corso intende fornire una buona conoscenza dei metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in dimensione 2 e in dimensione 3. Inoltre ha tra i suoi obiettivi lo sviluppo del linguaggio matematico astratto, lo sviluppo delle capacità logiche-deduttive e l’apprendimento di tecniche dimostrative e di calcolo.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’algebra lineare e della geometria analitica; dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso i contenuti dell’insegnamento; dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi standard di algebra lineare e geometria analitica; sarà in grado di applicare le conoscenze apprese alla risoluzione di esercizi o problemi che richiedono una piccola rielaborazione delle tecniche dimostrative e di calcolo già acquisite.

Propedeuticità: nessuna

Prerequisiti: conoscenze di Matematica di base acquisite nel percorso formativo della scuola secondaria superiore.

Le 108 ore previste sono suddivise in 72 ore di lezioni frontali alla lavagna e 36 ore di esercitazioni numeriche in aula.

L'esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
La prova scritta, della durata di circa 3 ore, consiste nella risoluzione di esercizi di algebra lineare e geometria analitica e di domande di teoria. La prova scritta ha un peso del 30% sulla prova finale. Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative al programma svolto a lezione. Lo studente ha la possibilità di sostituire la prova scritta con due o più prove scritte parziali, che si tengono nel corso dei due semestri e/o durante la pausa invernale nel mese di gennaio.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Per il materiale didattico distribuito durante il corso e il programma d’esame dettagliato si rinvia al sito e-learning di Ateneo, dove sarà attivato il corso “Geometria 1” a cui gli studenti iscritti avranno accesso con le credenziali di Ateneo. Gli esercizi relativi al corso sono depositati nella Sezione Materiale Didattico nella cartella “Esercizi”. Nella stessa sezione sono reperibili nella cartella “Test di Autovalutazione” test di preparazione di prove d’esame o di prove parziali.
Sito e-learning unicampania: https://elearning.unicampania.it/
Sito docente: http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti/69-polverino-olga
Sono previste attività di tutorato durante i semestri, gli orari delle lezioni e delle attività di tutorato sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: http://www.matfis.unina2.it/didattica/orari-lezioni#matematica

• Insiemi e relazioni Teoria degli insiemi- Relazioni tra insiemi. Definizione di funzione, immagine di una funzione, funzioni iniettive e suriettive, funzioni biiettive, invertibilità di una funzione biiettiva. Composta di due funzioni. Proprietà delle relazioni binarie. Relazioni di ordine. Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e proprietà. Restrizioni di una funzione.

• Generalità su gruppi, anelli e campi. Definizione di gruppo, anello, corpo e campo. Il gruppo simmetrico: permutazioni pari e dispari.

• Vettori numerici e matrici su un campo K. Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n) e di anello sull’insieme Kn,n delle matrici quadrate d’ordine n. Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e matrici elementari, algoritmo di riduzione a gradini. Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet. Algoritmo di riduzione a forma triangolare per il calcolo del determinante. Matrici invertibili e metodi per determinare l’inversa. Il gruppo generale GL(n,K) delle matrici quadrate invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati. Metodi per calcolare il rango.

• Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,., xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili: teorema di Rouchè-Capelli.. Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare.

• Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi. Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di una famiglia di sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann. Dimensione della somma diretta di un numero finito di sottospazi vettoriali e caratterizzazione della somma diretta. Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato. Matrici cambiamento di riferimento. Sistemi lineari omogenei.

• Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare: nucleo e immagine, nullità e rango e proprietà. Proprietà caratteristiche degli isomorfismi. Isomorfismi coordinati. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici e matrici. Teorema dimensionale. Teorema di esistenza e unicità di applicazioni lineari. Anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, gruppo generale lineare di uno spazio vettoriale. Matrice associata ad un’applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita in due fissati riferimenti: equazioni di un’applicazione lineare, equazioni del nucleo, dimensione dell’immagine come rango di una matrice associata. Matrici rappresentative della stessa applicazione lineare in riferimenti diversi. Matrici simili.

• Diagonalizzazione. Endomorfismi e matrici quadrate diagonalizzabili. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico, teorema di caratterizzazione degli endomorfismi (e matrici) diagonalizzabili, ricerca di una base di autovettori.

• Spazi vettoriali euclidei: prodotti scalari euclidei, lunghezze, angoli, ortogonalità, riferimenti ortonormali e algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio: ricerca e proprietà.

• Elementi di Geometria analitica. Lo spazio vettoriale euclideo dei vettori liberi in dimensione 2 e 3 (L2 e L3): definizione e prime proprietà, prodotto scalare tra vettori liberi, prodotto vettoriale in dimensione 3, basi ortonormali e componenti di un vettore. Coordinazione del piano e dello spazio euclideo (E2 e E3) e corrispondenza tra lo spazio vettoriale dei vettori liberi e lo spazio vettoriale numerico reale. I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza tra rette. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano.

• Elementi di teoria delle coniche. Circonferenze, ellissi, iperboli e parabole come luoghi geometrici. Equazioni rappresentative ordinarie e parametriche.

Italian

SYLLABUS
• Generalities on groups, rings and fields
• Numerical vectors and matrices
• Systems of linear equations
• Vector Spaces over a field
• Linear maps
• Euclidean vector spaces
• Diagonalization.
• Two and three-dimensional analytic geometry

Textbooks:
- M. Abate, Chiara de Fabritiis: Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw-Hill.
- A. Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo.
- G. Campanella: Esercizi di Algebra lineare e Geometria, volumi 1,2,3,4,5,8, Aracne.
- M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo.
- N. Melone: Introduzione ai metodi di Algebra lineare, CUEN.

Objectives:
- Knowledge and understanding:
The course intends to provide an introduction to the fundamental results and methods of: matrix theory, linear algebra, two and three-dimensional analytic geometry.
- Applying knowledge and understanding:
Students will be able to acquire a good knowledge and mastery of linear algebra and analytic geometry.

Prerequisites: none

Teaching methods:
72 hours of lectures
36 hours of classes

Methods of assessment:
written and oral examinations

Teaching materials:

https://elearning.unicampania.it/

The detailed program will be available at the end of the course.