ITALIANO

- Sistemi aritmetici floating-point ed errore di roundoff.
- Algebra lineare numerica: calcolo matriciale, metodi diretti e metodi iterativi lineari stazionari per la risoluzione di sistemi lineari.
- Rappresentazione di dati: interpolazione polinomiale, approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
- Risoluzione numerica di equazioni non lineari.

Sono previste, come parte integrante del programma, attività di laboratorio volte all’implementazione degli algoritmi studiati durante il corso o all'uso di routine che implementano tali algoritmi, e all'analisi dei risultati ottenuti su vari problemi test. Tali attività sono svolte utilizzando il linguaggio C e/o l’ambiente Matlab.

- Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, Springer, 2014.
- A. Murli, Matematica numerica. Metodi, algoritmi e software, vol. 1, Liguori, 2010.

Conoscenza e capacità di comprensione: al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito metodi e strumenti di base della matematica numerica, con particolare riferimento ai metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, alla risoluzione di equazioni non lineari, all’interpolazione e approssimazione di dati.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di applicare algoritmi numerici basilari per la risoluzione di sistemi di sistemi lineari e di equazioni non lineari e per l’interpolazione polinomiale.

- Abilità comunicative: al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di utilizzare un linguaggio tecnico-scientifico adeguato alle tematiche del calcolo numerico.

Analisi Matematica 1, Geometria 1. È preferibile aver acquisito gli elementi di programmazione forniti dal corso di Fondamenti di Informatica.

Le 108 ore di lezione previste sono suddivise in 72 ore di lezione frontale, 12 ore di esercitazioni in aula e 24 ore di attività di laboratorio.

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

La verifica dell'apprendimento consiste di norma in una prova di laboratorio, della durata di due ore, e in una prova orale. Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova di laboratorio. Quest’ultima può essere sostituita da prove di laboratorio parziali, eseguite durante lo svolgimento del corso.
Nella prova si richiede allo studente di sviluppare e/o modificare semplici moduli software analizzati durante le esercitazioni per dimostrare comprensione dei metodi e capacità di effettuare sperimentazioni numeriche e interpretarne i risultati. La prova orale consiste nella trattazione e discussione di argomenti del programma svolto a lezione.

Fondamenti della matematica numerica Errore assoluto ed errore relativo. Sistemi aritmetici floating-point a precisione finita. Errore di roundoff di rappresentazione ed errore di roundoff nelle operazioni aritmetiche floating-point. Minimo e massimo numero reale positivo rappresentabile. Massima accuratezza relativa ed epsilon-macchina. Algoritmi per il calcolo dell’epsilon-macchina e del minimo numero reale positivo rappresentabile. Cenni al sistema aritmetico standard IEEE. Condizionamento di un problema matematico. Indice di condizionamento. Esempi di problemi mal condizionati. Stabilità di un algoritmo numerico. Esempi di algoritmi stabili e instabili. Introduzione ai processi iterativi. Criteri di arresto di un processo iterativo. Approssimazione della funzione esponenziale mediante il suo sviluppo in serie di Mac Laurin.
Algebra lineare numerica Algoritmi per alcune operazioni di base del calcolo matriciale (prodotto scalare di vettori, operazione saxpy, prodotto matrice-vettore, prodotto matrice-matrice), livelli di BLAS e relativa complessità computazionale. Condizionamento di una matrice. Sensibilità di un sistema lineare alle perturbazioni nei dati. Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti: algoritmi di back e forward substitution e algoritmo di eliminazione di Gauss. Cenni sulla propagazione dell’errore nell’algoritmo di Gauss. Pivoting parziale e pivoting totale. Complessità computazionale degli algoritmi considerati. Fattorizzazione LU di una matrice. Esistenza e unicità di tale fattorizzazione. Equivalenza tra algoritmo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU. Pivoting parziale e totale nella fattorizzazione LU. Applicazioni della fattorizzazione LU: calcolo del determinante e dell’inversa di una matrice. Fattorizzazione di matrici a banda. Matrici sparse, grado di sparsità, memorizzazione di matrici sparse. Risoluzione di sistemi lineari con metodi lineari stazionari basati sullo splitting della matrice: formulazione generale dei metodi, metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e SOR. Consistenza, convergenza e velocità asintotica di convergenza di tali metodi. Condizioni per la convergenza. Teorema di Stein-Rosenberg. Scelta del parametro di rilassamento del metodo SOR. Complessità computazionale, stime calcolabili dell’errore e criteri di arresto dei metodi considerati.
Rappresentazione di dati Introduzione al problema dell'interpolazione di dati: interpolazione di Lagrange, di Hermite e di Hermite-Birkhoff. Esistenza e unicità del polinomio interpolante di Lagrange. Rappresentazione di tale polinomio mediante le formule di Lagrange e di Newton. Differenze divise e proprietà. Algoritmi 2 per la costruzione e la valutazione del polinomio interpolante di Lagrange in forma di Newton. Complessità computazionale degli algoritmi considerati. Limiti dell’interpolazione polinomiale su nodi equispaziati ed esempio di Runge. Approssimazione polinomiale nel senso dei minimi quadrati, con particolare riferimento alla retta e alla parabola dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali: proprietà, interpretazione geometrica, uso nella costruzione del polinomio approssimante. Risoluzione numerica di equazioni non lineari Metodi globalmente e localmente convergenti. Metodi basati su modelli lineari: metodi di bisezione, di regula falsi, di Newton e delle secanti. Convergenza ed ordine di convergenza di tali metodi. Metodi ibridi. Complessità computazionale e criteri di arresto dei metodi considerati.

2. Attività di laboratorio Costituiscono parte integrante del programma le attività di laboratorio di seguito specificate. Per ciascuno dei programmi sviluppati è richiesta l’applicazione a problemi test che mettano in luce le principali caratteristiche dei metodi implementati e dei relativi programmi e un’analisi dei risultati ottenuti. Sviluppo di programmi in linguaggio C e/o MATLAB per la risoluzione dei seguenti problemi:
• calcolo dell’epsilon-macchina e del minimo numero rappresentabile;
• calcolo del prodotto scalare di due vettori, del vettore risultante dall’operazione saxpy, della norma euclidea di un vettore, del prodotto matrice-vettore e del prodotto di due matrici;
• calcolo di un’approssimazione di e x mediante una ridotta della sua serie di Mc Laurin, con un risultato corretto a meno di un numero di cifre significative (o decimali) fissato in input;
• risoluzione di un sistema lineare mediante l’algoritmo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale e la back substitution;
• risoluzione di più sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficienti mediante fattorizzazione LU con pivoting parziale e back e forward substitution;
• calcolo del determinante di una matrice mediante fattorizzazione LU;
• risoluzione di sistemi lineari a banda mediante fattorizzazione LU e back e forward substitution;
• calcolo di un’approssimazione di uno zero di una funzione non lineare con il metodo di bisezione e il metodo di Newton, utilizzando criteri di arresto che tengano conto del valore della funzione e della distanza tra due approssimazioni successive della soluzione.

Italian

- Floating-point arithmetic and roundoff error.
- Numerical linear algebra: matrix computations, direct methods and stationary linear iterative methods for the solution of linear systems.
- Polynomial interpolation and least squares data fitting.
- Rootfinding for nonlinear equations.

The course includes laboratories focusing on the implementation of numerical algorithms, the use of numerical software and the analysis of results. The activities will be performed by using the C language and/or the Matlab system.

- Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, Springer, 2014. Note: a previous edition of this textbook by the first three authors is available in English too.
- A. Murli, Matematica numerica. Metodi, algoritmi e software, vol. 1, Liguori, 2010.

- Knowledge and understanding: students are expected to learn basic methods and tools of numerical mathematics for the solution of linear systems, nonlinear equations, and interpolation and data fitting problems.

- Applying knowledge and understanding: students are expected to have the ability of applying basic numerical algorithms for the solution of linear systems, nonlinear equations, and interpolation and data fitting problems.

- Communication skills: students are expected to use a technical and scientific language suited to numerical computing.

Mathematical Analysis 1, Geometry 1. Knowledge of the basics of programming provided by the course "Basics of Computer Science" ("Fondamenti di Informatica") is useful.

The course consists of lectures (72 hours), in-class exercises (12 hours), labs (24 hours).

The exam consists of two parts: a two-hour computer-based test and an oral assessment. Students undergo the oral assessment if they pass the computer-based test. The final computer-based test can be substituted by partial computer-based tests performed during the development of the course.

- Floating-point arithmetic and roundoff error.
- Numerical linear algebra: matrix computations, direct methods and stationary linear iterative methods for the solution of linear systems.
- Polynomial interpolation and least squares data fitting.
- Rootfinding for nonlinear equations.