Italiano

- Calcolo infinitesimale per le curve
- Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali
- Calcolo Integrale per funzioni di più variabili
- Campi vettoriali
- Serie di Fourier
Trasformata di Laplace e Trasformata di Fourier
- Analisi Complessa (solo per corso da 12CFU)

- Bramanti M., Pagani C., Salsa S.; Analisi Matematica 2; Zanichelli
- Bramanti M., Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria; Esculapio

- Consolidamento delle conoscenze di Analisi Matematica con applicazione allo studio e al calcolo integrale delle funzioni di più variabili a valori vettoriali.
- Acquisizione dei principali strumenti matematici legati al trattamento dei segnali come lo studio delle funzioni di variabile complessa, le serie di Fourier e le trasformate di Fourier e di Laplace; svolgere calcoli elementari mediante tali trasformate e di applicarli a semplici problemi differenziali.

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale.

- Lezioni frontali
- Esercitazioni

- Prove intercorso
- Esame scritto
- Esame orale

Calcolo differenziale per le curve
Richiami di calcolo vettoriale. Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità. Curve regolari e calcolo differenziale per le curve (arco di curva continua, derivata di una funzione vettoriale, arco di curva regolare, integrale di una funzione a valori vettoriali, curve piane). Lunghezza di un arco di curva (curve rettificabili, cambiamenti di parametrizzazione, ascissa curvilinea). Integrali di linea di prima specie. Curvatura e normale principale per una curva.

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
Grafici e insiemi di livello. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Topologia in Rn e proprietà delle funzioni continue. Derivate parziali. Piano tangente al grafico di una funzione di più variabili. Differenziabilità. Derivate direzionali. Differenziale secondo. Matrice hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Ottimizzazione (estremi liberi). Condizioni necessarie del primo ordine. Forme quadratiche (classificazione, test degli autovalori). Studio della natura dei punti critici. Funzioni convesse e concave. Funzioni definite implicitamente (teorema del Dini).

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali
Superfici in forma parametrica. Trasformazioni di coordinate. Campi vettoriali. Limiti, continuità e differenziabilità. Superfici regolari. Ottimizzazione vincolata. Moltiplicatori di Lagrange.

Calcolo integrale funzioni di più variabili
Integrali doppi (integrazione su un rettangolo). Domini semplici, regolari, misurabili. Calcolo degli integrali doppi mediante la formula di riduzione. Cambiamento di variabili. Integrali tripli.

Campi vettoriali
Integrali di linea di seconda specie. Gradiente, rotore e divergenza. Lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziali. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Il linguaggio delle forme differenziali. Formula di Gauss-Green. Area di una superficie. Integrale di superficie di una funzione continua. Superfici orientate. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Teorema della divergenza. Teorema del rotore.

Serie di potenze e serie di Fourier
Riepilogo sulle serie di funzioni e convergenza totale. Serie di potenze (proprietà fondamentali, raggio di convergenza, serie di potenze e serie di Taylor, funzioni analitiche). Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Spazi vettoriali astratti e prodotto scalare (cenni). Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Convergenza puntuale delle serie di Fourier. Applicazioni

Trasformata di Laplace e Trasformata di Fourier
Trasformata di Laplace (definizioni, esempi, proprietà, trasformata inversa, funzione di trasferimento di un sistema, applicazioni). Trasformata di Fourier (definizioni, proprietà, applicazioni).

Introduzione all’Analisi Complessa (solo per il corso da 12CFU)
Il campo complesso. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Serie di potenze. Integrazione nel campo complesso. Funzioni analitiche. Serie bilatere. Punti singolari. Teorema dei residui.

Italian

- Calculus for curves
- Calculus for real functions of several variables
- Calculus for functions of several variables with vector values
- Integrals of functions of several variables
- Vector fields
- Fourier series
- Laplace transform and Fourier transform
- Complex Analysis (only for course of 12CFU)

- Bramanti M., Pagani C., Salsa S.; Analisi Matematica 2; Zanichelli
- Bramanti M., Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria; Esculapio

- Refinement of the knowledge of Calculus with application to the study and the integral calculation of functions of several variables with vector values.
- To obtain the main mathematical tools related to the treatment of signals such as the study of functions of complex variables, Fourier series and the Fourier and Laplace trasforms in order to apply them to simple differential problems.

Differential and Integral calculus for real functions, sequences and series, complex numbers, vectors and matrix.

- Theoretical lessons
- Practice Lessons

- Training during the course
- Written exam
- Verbal exam

- Differential calculus for curves
Vector-valued functions, limits and continuity. Regular curves and differential calculus for curves. Rectifiable curves, change of parameterization, curvilinear abscissa. Line integrals of the first kind. Curvature and principal normal for a curve.
- Differential calculus for real functions of several variables
Graphs and level sets. Limits and continuity for functions of several variables. Topology in Rn and properties of continuous functions. Partial derivatives. Tangent plane to the graph of a function of several variables. Differentiability. Directional derivatives. Second differential. Hessian matrix. Second order Taylor formula. Optimization. First order necessary conditions. Quadratic forms (classification, eigenvalue test). Study of the nature of critical points. Convex and concave functions. Implicitly defined functions (Dini theorem).
- Differential calculus for vector-valued functions of several variables
Surfaces in parametric form. Coordinate transformations. Vector fields. Limits, continuity and differentiability. Regular surfaces. Constrained optimization. Lagrange multipliers.
- Integral calculus for functions of multiple variables
Double integrals (integration over a rectangle). Simple, regular, measurable domains. Calculation of double integrals using the reduction formula. Change of variables. Triple integrals.
- Vector fields
Line integrals of the second kind. Gradient, curl and divergence. Work of a vector field. Potentials. Irrotational fields. Simply connected sets. The language of differential forms. Gauss-Green formula. Area of ​​a surface. Surface integral of a continuous function. Oriented surfaces. Boundary of a surface. Piecewise regular surfaces. Flow of a vector field through an oriented surface. Divergence theorem. Stokes theorem.
- Power series and Fourier series
Power series (fundamental properties, radius of convergence, power series and Taylor series, analytic functions). Trigonometric polynomials and trigonometric series. Abstract vector spaces and scalar product. Coefficients and Fourier series of a periodic function. Mean square approximation. Pointwise convergence of Fourier series. Applications.
- Laplace transform and Fourier transform
Laplace transform (definitions, examples, properties, inverse transform, transfer function of a system, applications). Fourier transform (definitions, properties, applications).
- Introduction to Complex Analysis (only for the course of 12CFU)
The complex field. Functions of a complex variable. Holomorphic functions. Power series. Integration in the complex field. Analytical functions. Bilateral series. Singular points. Residuals theorem.