ITALIANO

Teoria degli insiemi ed elementi di logica. Numeri naturali, Principio di Induzione e applicazioni. Numeri reali. Funzioni reali: prime proprietà, funzioni elementari; limiti di funzioni e successioni. Serie numeriche.
Calcolo differenziale e integrale: definizioni, regole di calcolo, teoremi del calcolo differenziale; integrale di Riemann, teorema fondamentale del calcolo; integrali impropri. Metodi di risolutivi per alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

Marcellini – Sbordone, Analisi Matematica Uno, Ed. Liguori
Pagani – Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
Alvino – Carbone – Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2 Ed Liguori
Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica I volume parte 1 e 2, Ed. Liguori

Il corso intende fornire allo studente gli strumenti essenziali del calcolo differenziale ed integrale con particolare riferimento al caso delle funzioni di una sola variabile reale.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Obiettivo del corso sarà quello di rendere gli studenti capaci di enunciare e dimostrare i principali risultati dell’insegnamento, inoltre attraverso le esercitazioni un ulteriore scopo del corso sarà quello di stimolare un’autonoma capacità di giudizio in modo da sviluppare un approccio critico allo studio e di riuscire ad applicare in modo opportuno le conoscenze teoriche acquisite.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’insegnamento ed essere capace di esporli in modo chiaro e rigoroso, dovrà essere in grado di riformulare semplici problemi concreti in termini analitici e di trarre conclusioni in modo critico ed autonomo, dovrà aver acquisito un’appropriata capacità di apprendimento e di ragionamento in modo da poter applicare le conoscenze acquisite in modo opportuno anche in altri insegnamenti.

Propedeuticità: nessuna.
Prerequisiti: conoscenze di aspetti elementari della matematica acquisite durante la scuola secondaria superiore.

Le 88 ore previste sono suddivise in 56 ore di lezioni frontali alla lavagna e 36 ore di esercitazioni numeriche in aula opportunamente suddivise rispetto gli argomenti da trattare durante l’insegnamento.

L’esame consiste nel superamento di una prova scritta e di una prova orale. Entrambe le prove sono obbligatorie. Il superamento della prova scritta è propedeutico all’esame orale.
Durante il corso si effettueranno due prove intercorso, il cui superamento significherà il superamento della prova scritta.
L’esame orale è volto a valutare la capacità di ragionamento e di collegamento tra i vari argomenti svolti durante il corso. Saranno, inoltre, discussi gli aspetti trattati durante lo scritto. È necessaria l’iscrizione elettronica alle prove scritte, alle prove orali e alle prove intercorso.
Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è necessario portare con sé un documento d’identità valido.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente.
Le ore di esercitazione verranno completate da attività di tutoraggio.

I numeri e le funzioni reali: Cenni di teoria degli insiemi; Enti primitivi: unione, intersezione differenza, prodotto cartesiano; numeri naturali e principio di induzione; introduzione ai numeri reali, assioma di completezza; proprietà archimedea; caratterizzazione di estremo superiore ed estremo inferiore; Insiemi contigui e relativa caratterizzazione.
Funzioni e rappresentazione cartesiana; funzioni composte, funzioni iniettive, suriettive, invertibili; funzioni monotone; funzioni limitate; funzioni simmetriche, funzioni periodiche; restrizioni e prolungamenti di funzioni; funzioni elementari e loro grafici.
Successioni: Definizione di successione di numeri reali; limite di successioni; definizione e teoremi sui limiti; operazioni con i limiti; forme indeterminate; successioni monotone; il numero di Nepero; confronti e stime asintotiche, criterio di convergenza di Cauchy; punti di accumulazione; teorema di Bolzano; successioni estratte e proprietà connesse. Caratterizzazione dei chiusi e dei compatti.
Serie numeriche: Definizione di serie numerica, carattere di una serie; operazioni con le serie; serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata; serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto, criterio degli infinitesimi; serie a segni alterni; assoluta convergenza e proprietà; serie a segni alterni.
Limiti di funzioni: limiti di funzioni; definizione di limite desto e sinistro, proprietà dei limiti di funzioni, operazioni con i limiti di funzioni; limiti di funzioni composte; teorema ponte; funzioni continue e relative proprietà, classificazione delle discontinuità ed esempi; continuità delle funzioni elementari; massimi e minimi assoluti: teorema di Weierstrass, il teorema degli zeri, il teorema dei valori intermedi, Caratterizzazione delle funzioni monotone e continue, continuità delle funzioni inverse; funzioni uniformemente continue; limiti notevoli;
Calcolo differenziale: Definizione di derivata e significato geometrico, esempi di funzioni derivabili e non derivabili, equazione della retta tangente, punti di non derivabilità, regole di derivazione e derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy; criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo e delle funzioni monotone e strettamente monotone in un intervallo, condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi, funzioni convesse e concave, flessi, asintoti, studio del grafico di una funzione, Teorema di de l'Hospital, calcolo dei limiti che si presentano in forma indeterminata, infinitesimi e infiniti; formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
Calcolo integrale: Definizione di integrazione indefinita e di primitiva, integrale di Riemann e proprietà, misurabilità del rettangoloide, integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione: integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrali impropri.
Equazioni Differenziali: Definizioni ed esempi: il modello di Malthus. Cenni sul problema di Cauchy. Tecniche risolutive per equazioni differenziali del primo ordine lineari e non lineari: equazioni a variabili separabili, equazioni del tipo: y’ = g(y/x), equazioni del tipo: y’ = g(ax+by). Tecniche risolutive per equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.

Italian

Introduction to logic and set theory. Natural numbers, Principle of Mathematical Induction, and applications. Real numbers. Real functions: first properties, elementary functions; limits of functions, and sequences. Numerical series.
Differential and integral calculus: defined, calculation rules, differential calculus theorems; Riemann integral, fundamental theorem of calculus; improper integrals. Solution methods for some classes of ordinary differential equations.

Marcellini – Sbordone, Analisi Matematica Uno, Ed. Liguori
Pagani – Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
Alvino – Carbone – Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2 Ed Liguori
Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica I volume parte 1 e 2, Ed. Liguori

This course aims to provide students with the fundamental tools of differential and integral calculus for functions of a single real variable.
Ability to apply knowledge and understanding:
The course will aim to make students able to enunciate and demonstrate the main results of the course. Furthermore, through the exercises, a further aim of the course will be to stimulate an autonomous judgment to develop a critical approach to study and to be able to properly apply the theoretical knowledge acquired.
Ability to apply knowledge and understanding:
At the end of the course, the student must have acquired the fundamental concepts of teaching and the student will be able to present them clearly and rigorously, he must be able to reformulate simple concrete problems in analytical terms and to draw conclusions critically and autonomously. Finally, he must have acquired an appropriate learning and reasoning ability to apply the knowledge acquired properly also in other teachings.

Basic computation and general mathematical knowledge acquired during upper secondary school.

The 88 hours are divided into 56 hours of lectures on the blackboard and 36 hours of numerical exercises appropriately divided with respect to the topics treated during the teaching.

The exam consists of passing a written test and an oral test. Both tests are mandatory. Passing the written test is preparatory for the oral exam.
During the course, two tests will take place, the passing of which will mean passing the written test.
The oral exam is aimed at assessing the reasoning ability and connection between the various topics carried out during the course. Furthermore, the aspects dealt with during the writing will be discussed. Electronic enrollment is required for all tests.
Please also note that to take the exam, both written and oral, it is necessary to bring a valid identity document with you.

For reception hours, please refer to the teaching section of the teacher's website.
The training hours will be completed by tutoring activities.

Numers and real functions: basics on set theory; union, intersection, difference, Cartesian product; relation, graph, ordered complete field, axioms of real numbers; consequences of the axioms of real numbers; natural numbers, integers; completeness property, definition of maximum, minimum, infimum and supremum; functions and their representation; composition of functions, injective, surjective, invertible functions; monotonic functions, symmetric functions, periodic functions, restriction and analytic continuation; linear functions, absolute value function; power function, exponential and logarithms functions, trigonometric functions and their inverses; graphic resolution, algebra of equations and elementary inequalities.

Limit of a sequence; definition of a sequence of real numbers; definition of limit, convergent sequences, divergent sequences; uniqueness to the limit theorem; bounded and monotone sequences; operations with limits; indeterminate forms; squeeze theorem; Permanence of sign; some fundamental limits (n.p. apart from the limits lim_n sin an , lim_n (sin an / an) as an→0); regularity of monotone sequences; asymptotic comparisons, Neplero's number , Cauchy convergence Theorem. Bolzano Theorem, Subsequence.

Limits of functions: definition of accumulation point; definition of neighbourhood, definition of limit of a real function; convergent, divergent, oscillating functions; definition of right and left limits, examples and properties of limit of a function, operation with limits; limit of the composition of two functions, uniqueness of the limit theorem, connection between limits of functions and limits of sequences: connection theorem, comparison theorem; continuous functions and related properties, classification of the discontinuity; continuity of elementary functions; Weistrass theorem and related counterexamples, location of zeros theorem and applications, intermediate values theorem, continuity criteria for monotone functions, continuity of inverse functions; fundamental limits; comparisons theorems and applications. Unifor continuity.

Derivatives: definition of derivative and geometric meaning, examples of derivable functions and non derivable functions, equation of tangent line, connections between derivability and continuity of a function, counterexamples; definition of left and right derivatives, derivatives of elementary functions, operations with derivatives, second order derivatives, derivatives of inverse functions; derivatives of inverse of the trigonometric functions, derivation of the composition of functions, applications.

Applications of derivatives: local maxima and minima, Fermat theorem, Rolle, Lagrange and Cauchy theorems with related geometric interpretation; characterization of constant function in an interval, sufficient conditions for local maxima and minima, convex functions and concave functions, De Hospital theorem, graph of a function. k-th order Taylor polynomial with Peano form of the reimander term, k-th order Taylor polynomial with Lagrange form of the reimander term.


The Riemann integral in one variable: definitions and notations, criteria of Riemann integrability, integrability of continuous functions, integrability of monotone functions, average theorem.

Indefinite integrals: definition of primitive functions and properties, definite integral, fundamental theorem for integrals, fundamental formula, integration by decomposing in sum, integration of rational functions, integration by parts, integration bye substitution.

Hint on complex numbers: field of complex numbers, relation between R^2 e C.


Differential equations: definitions and example, Malthus's model. Cauchy's problem. Integral formulation of the Cauchy's problem. Existence and local and global uniqueness theorem (n.p.). Linear differential equations of first and second order. Linear homogenous differential equations of second order with constant coefficients. Complete linear differential equations of second order: the case in which the constant term is a polynomial function, exponential or trigonometric. Equations of type: y’ = g(y/x) and y’ = g(ax+by). Bernulli's equation.