ITALIANO

1) Operatori Lineari in Spazi di Hilbert
2) Analisi complessa
3) Serie e trasformate di Fourier
4) Trasformata di Laplace ed equazioni alle derivate parziali

1) Operatori Lineari in Spazi di Hilbert
C. Bernardini, O. Ragnisco & P. M. Santini: Metodi Matematici della Fisica

N. I. Akhiezer & I. M. Glazman: Theory of Linear Operators in Hilbert Space

2) Analisi Complessa
notes on “Introduzione ai Metodi Matematici della Fisica” M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto
notes on “Metodi Matematici della Fisica”, N. Zanghi
3) Serie e trasformate di Fourier
4) Trasformata di Laplace ed equazioni alle derivate parziali

E. Butkov: Mathematical Physics
notes on “Trasformate e serie di Fourier, ed equazioni differenziali ” S. de Siena,
Schaum's outline of “Theory and Problems of Laplace Transforms”

L'insegnamento si prefigge di fornire conoscenze di base sui metodi matematici applicati alla fisica. In particolare lo studente acquisterà familiarità con le proprietà principali degli operatori lineari in spazi di Hilbert e dell'analisi complessa.
L'insegnamento, pertanto, è finalizzato ad un percorso formativo al termine del quale lo studente sarà in grado di utilizzare strumenti matematici molto potenti come il teorema dei residui e le trasformate di Laplace e di Fourier.

In relazione alle abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare la capacità dello studente di enunciare in modo chiaro e rigoroso i teoremi presentati durante il corso.

Fisica generale, Geometria ed Analisi

Il corso è articolato in 52 ore di lezione frontali (di cui, 26 per l'introduzione agli spazi di Hilbert, 14 per l'analisi complessa 6 per la serie e trasformate di Fourier ed 6 Trasformata di Laplace ed equazioni alle derivate parziali) e 16 ore di esercitazioni e 4 ore di studio assistito, il tutto svolto in aula.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L'esame prevede una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie, che contribuiscono al voto finale con un peso di 40% e 60% rispettivamente.
La prova scritta, della durata di circa 2 ore, si svolge in aula e consiste nella risoluzione di specifici problemi studiati durante il Corso. È consentito l’uso della calcolatrice, ma non è possibile consultare testi e/o materiali didattici. Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova scritta con una votazione minima di 15/30. La corretta risoluzione di tutti i problemi conduce ad una votazione pari a 30/30.
La prova orale consiste nella trattazione e discussione di argomenti del programma svolto a lezione ed ha una durata di circa 30 minuti. Oltre a verificare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente, la prova orale mira ad accertare la capacità dello studente nel maneggiare i diversi metodi matematici e di dimostrare i teoremi su cui essi sono basati.
E’ previsto l’esonero dalla prova scritta per gli studenti in corso che abbiano frequentato regolarmente le lezioni e le esercitazioni e che abbiano conseguito una valutazione complessiva superiore alla sufficienza sugli elaborati prodotti in sede di prove intercorso. Tipicamente sono previste due prove intercorso: La prima consiste nella risoluzione di problemi su operatori e Spazi di Hilbert, la seconda consiste nella risoluzione di problemi di Analisi Complessi ed di risoluzione di Equazioni differenziali alle derivate parziali.

Le tracce delle prove scritte d’esame sono reperibili sul sito del Dipartimento (http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057187), alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo).

1) Operatori Lineari in Spazi di Hilbert (4CFU)

Richiamo ai numeri complessi - Definizione di Spazio di Hilbert - Definizione di prodotto scalare – Definizione di norma – Disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Schwarz
Insieme di vettori ortonormali – Proiezione su un sottospazio – Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Trasformazioni lineari – Matrici Hermitiane – Relazione tra matrici Hermitiane e numeri complessi – Operatori Unitari e matrici di rotazione – Operatori Inversi – Operatori di Proiezione – Autovalori ed autovettori – Teorema sulla diagonalizzabilità di una matrice- Notazione di Dirac – Diagonalizzazione come prodotto tra matrici -
Proprietà degli autovettori di matrici Hermitiane – Teorema spettrale – Proprietà degli autovettori di operatori unitari e di proiezione – Definizione di Completezza di uno spazio
Cenni sulla coerenza quantistica – Matrici di Pauli – Stati separabili e stati di Bell
2) Analisi complessa (2CFU)

Funzioni complesse – Condizioni di derivabilità di funzioni complesse – Teorema di Cauchy-Riemann
Integrazione in campo complesso – Lemma di Gauss – Teorema di Cauchy – Teorema di Morera - Rappresentazione integrale di Cauchy – Teorema di infinita derivabilità – Teorema di Liouville – Teorema della media – Teoremi del minimo e massimo modulo
Serie in campo complesso – Convergenza puntuale, assoluta e uniforme – Raggio di convergenza – Teorema di Weierstrass - Teorema di Cauchy-Hadamard - Integrali con poli lungo il cammino di integrazione – Il punto all'infinito – Funzioni polidrome

3) Serie e trasformate di Fourier (1CFU)

Sviluppo in serie di Fourier – Teorema di convergenza e disuguaglianza di Bessel – Teorema di Riesz-Fisher - Uguaglianza di Parseval per funzioni di classe C1 – Lemma di Riemann
Trasformata di Fourier (TF) – Legame con la serie di Fourier - Condizioni per l'esistenza della TF – Teorema della convoluzione – Teorema integrale di Fourier – Legame tra la TL e la TF – Proprietà della TF

4) Trasformata di Laplace ed equazioni alle derivate parziali (1 CFU)

Trasformata di Laplace (TL) – Teorema di esistenza della TL – Proprietà della TL – Metodo di decomposizione per fratti – Teorema di espansione di Heaviside – Formula di inversione di Mellin - Teorema della convoluzione – Teorema della funzione primitiva – Derivate ed integrali della TL
Equazione del calore omogenea sulla retta - Equazione del calore con sorgente sulla retta – Equazione delle onde omogenea sulla retta – Equazione delle onde con dissipazione.

Italian

1) Hilbert Space and Linear Operators
2) Complex Analysis
3) Fourier Series and Transform
4) Laplace Series and Partial Differential Equations

1) Linear Operators Hilbert Space
C. Bernardini, O. Ragnisco & P. M. Santini: Metodi Matematici della Fisica

N. I. Akhiezer & I. M. Glazman: Theory of Linear Operators in Hilbert Space

2) Complex Analysis
notes on “Introduzione ai Metodi Matematici della Fisica” M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto
notes on “Metodi Matematici della Fisica”, N. Zanghi
3) Fourier Series and Transforms

4) Laplace Transforms and Partial Differential Equations

E. Butkov: Mathematical Physics
notes on “Trasformate e serie di Fourier, ed equazioni differenziali ” S. de Siena,
Schaum's outline of “Theory and Problems of Laplace Transforms”

The course is aimed at providing basic knowledge
OF MATHEMATICAL PHYSICS OF INTEREST TO THE DEGREE COURSE. The student WILL ACQUIRE KNOWLEDGE OF THE MAIN PROPERTIES OF HILBERT SPACES, COMPLEX ANALYSIS, FOURIER AND LAPALCE TRANSFORMS.
The course is therefore finalized to a learning process at the end of which the student will be able to apply powerful mathematical methods such as
the Residue Theorem, Laplace and Fourier Transform.
Concerning communicative skills, the course is aimed at developing the student's ability in presenting in a clear and rigorous ways mathematical theorems.

Analysis, Geometry, and General Physics

The course is structured in 52 hours of lectures (26 for Hilbert spaces and Linear Operators, 14 for the Complex Analysis 6 on Fourier transform and Series and 6 on Laplace transform and Partial Differential Equations) and 16 hours of exercises in the classroom and 4 hours of assisted study, .
Attendance is not compulsory but strongly recommended

The examination is structured in written test and an oral interview Both are mandatory and contribute with a weight of the 40% and 60% to the final vote, respectively. The written test takes place in the classroom and is based on the solution of specific problems of Mathematical Methods. The use of pocket calculators is allowed whereas the use of tests ad didactic material is forbidden. The test must be evaluated at least 15/30 to access to the oral interview and the maximum evaluation is 30/30.
The oral interview is based on the discussion of the arguments illustrated during the course with a typical duration of 30 minutes. Together with the evaluation of the degree of knowledge reached by the student, the interview is aimed to evaluate the students' ability in managing mathematical methods and in demonstrating theorems at their basis. Students who have attended lectures and class exercises can access to midterms tests which allow direct access to the oral interview. Two midterms tests are usually scheduled: The first is the resolution of problems on Linear Operators in Hilbert Spaces and the second concerns the resolution of Complex Analysis and on Partial Differential Equations.

Examples of written tests can be found at (http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057187).

1) Linear Operators in Hilbert Space (4CFU)

Complex number – Hilbert Space definition – scalar product and norm definition – Triangular and Schwarz inequality
Orthonormal vectors – Subspaces and the Projection operator – Gram-Schmidt orthogonalization
Linear Transformations – Hermitian Matrix – Unitary Operators and rotations– Inverse and Projection Operators – Eigen values and Eigenvectors – Diagonalization Conditions – The Dirac notation -Spectral Theorem

Introduction to quantum coherence – Pauli Matrix and Bell's states
2) Complex Analysis (2CFU)

Complex functions – Cauchy-Riemann Theorem – Integration – Gauss Lemma – Cauchy Theorem –Morera Theorem - Cauchy Integral Representation– Infinite Derivability Theorem – Liouville Theorem
Complex Sequences – Convergence – Weierstrass Theorem - Cauchy-Hadamard Theorem- Integral with poles on contour of integration – The infinite point – Multivalued functions

3) Fourier series and Transform (1CFU)

Fourier Series – convergence and Riesz-Fisher Theorem - Parseval Equality and Riemann Lemma
Fourier Transform (TF) – existence – convolution theorem – TF properties

4) Laplace Transform and partial differential equations (1 CFU)

Laplace transform (TL) – Existence – Properties – Inversion methods– Integral and derivative of the TL
Heat equation on a line – Wave equation on a line– Wave equation with dissipation