ITALIANO

Programma sintetico

-Geometria differenziale delle curve.
1. Curvatura di una curva piana regolare. Teorema fondamentale delle curve piane.
2. Curvatura e torsione di una curva regolare nello spazio. Triedro di Frenet.
Teorema fondamentale delle curve nello spazio.

-Geometria differenziale delle superfici.
3. Superfici regolari. Superfici orientabili. Prima forma fondamentale.
4. Operatore forma. Curvature. Cuve asintotiche e curve principali. Geodetiche.
5. Superfici a punti ombelicali. Superfici rigate. Superfici di rotazione.

- Varietà differenziabili
6. Varietà . Vettori tangenti e cotangenti. Campi vettoriali. Algebra esterna.

1) E. Abbena, A. Gray, . Salamon.: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica CRC Press, Third Edition (2006). 2) Christian Bär, Differential Geometry (Summer Term 2013-Geometry in Potsdam) Universität Potsdam (2013). 3) A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer (2012).
4) R.S: Milmann, G.D. Parker, Elements of differential Geometry, Prentice Hall, International Inc., London, 1977.

Il corso intende fornire una buona conoscenza delle nozioni della geometria differenziale delle curve e superfici in spazi euclidei e la conoscenza di nozioni di teoria delle varietà differenziabili che permetteranno di proseguire lo studio intrinseco di superfici iniziato nella parte del corso relativa alle superfici di uno spazio euclideo.

Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di acquisire una buona conoscenza e padronanza dei metodi geometrici, algebrici e differenziali per lo studio di curve superfici e varietà differenziabili e del ruolo della geometria differenziale in matematica e in altre discipline (ad esempio in computer grafica).

Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di aver familiarità con gli argomenti trattati, di esporli in maniera chiara e rigorosa e di essere in grado di applicare i risultati studiati ad esempi specifici.

Conoscenze di base di analisi matematica, geometria e algebra.

Il corso è articolato in 64 ore di didattica frontale. Con cadenza settimanale sono proposti online (sul sito del docente) degli homework che sono poi discussi in aula insieme con gli studenti per commentare e analizzare i risultati teorici esposti a lezione .
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L’esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie, che contribuiscono al voto finale con un peso di 30% e 70% rispettivamente.
Per partecipare sia alla prova scritta che a quella orale è necessario esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.
La prova scritta della durata di circa 2 ore si svolge in aula e consiste di quattro esercizi: uno riguardante le curve, due le superfici ed uno le varietà differenziabili. . È consentito l’uso della calcolatrice e a parte l’uso di un formulario per le superfici non è possibile consultare testi e/o altri materiali didattici.
La prova è valutata in trentesimi ed è propedeutica alla prova orale. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il voto di 18/30.
La prova orale verifica la conoscenza , il livello di comprensione degli argomenti trattati a lezione, la capacità di esporli in maniera chiara e rigorosa. Essa consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso e in un’eventuale discussione della prova scritta se in essa sono presenti degli errori.
La prova orale ha una durata di circa 50 minuti, è valutata in trentesimi e fornisce il voto finale dell’esame.

E’ previsto l’esonero dalla prova scritta per gli studenti in corso che abbiano frequentato regolarmente le lezioni e che abbiano conseguito una valutazione complessiva superiore alla sufficienza sui 2 elaborati prodotti in sede delle prove intercorso. Queste ultime consistono nella risoluzione di problemi ed esercizi: la prima su argomenti riguardanti le curve. La seconda su argomenti riguardanti le superfici e le varietà differenziabili.

Le tracce degli homework e delle prove scritte d’esame sono reperibili sul sito del Dipartimento (http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=059207) alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo).

Geometria differenziale delle curve. (12 ore di lezioni frontali, per un totale di 1,5 CFU)
Definizione ed esempi di curve differenziabili e regolari. Riparametrizzazioni di una curva differenziabile. Lunghezza di una curva. Lunghezza d’arco e esistenza di una riparametrizzazione a velocità unitaria di una curva regolare. Curve differenziabili nel piano euclideo: Curvatura di una curva regolare. Angolo ruotante. Prima formula di Frenet. Teorema fondamentale delle curve piane. Equazione intrinseca di una curva. Coordinate polari. Evolute, evolventi e cerchio osculatore ad una curva piana. Curve piane equiangolari. Curve sghembe:Curvatura e torsione di una curva regolare. Equazioni di Frenet-Serret. Piani osculatore, normale e rettificante. Rappresentazione canonica di una curva. Il teorema fondamentale per le curve nello spazio. Curve circolari e curve sferiche. Eliche. Cenni sulle curve B-spline (NURBS).

- Geometria differenziale delle superfici. (28 ore di lezioni frontali, per un totale di 3,5 CFU )
Vettori tangenti dello spazio euclideo n-dimensionale e derivate direzionali. Funzioni tangenti. Campi vettoriali e loro derivate. Porzioni di superfici nello spazio euclideo reale di dimensione n. Superfici regolari. Vettori tangenti a una superficie regolare. Diffeomorfismi. Superfici di livello. Metriche su una superficie. Isometrie tra superfici. Area su una superficie. Superfici nello spazio 3-dimensionale: Operatore forma. Curvatura normale. Equazioni di Weingarten. Autovalori dell’operatore forma. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Le tre forme fondamentali. Funzioni di equiestensione: un teorema di Archimede. Curve asintotiche e curve principali su una superficie. Geodetiche. Caratterizzazione delle superfici regolari connesse a punti ombelicali. Una proprietà globale di curvatura (per superfici compatte). Geodetiche. Superfici di rotazione e superfici rigate. Orientabilità di una superficie. Superfici non orientabili. Geometria intrinseca: il teorema Egregium di Gauss. Cenni di geometria sferica.

- Varietà differenziabili. (24 ore di lezioni frontali, per un totale di 3CFU)
Definizione di varietà. Funzioni tra varietà. Funzioni lisce. Derivata. Fibrato tangente. Campi vettoriali come derivazioni. Prodotti tensoriali.

Italian

1. Curvature of a regular plane curve.
the fundamental theroem for plane curves.
Torsion and curvature of a regular space curve . Frenet apparatus. The fundsamental theroem of space cruves.
regular surfaces in R^n. Shape operator. Normal curvature. Asymptotic land principal curves. Umbilics. Ruled surfaces. Manifolds. Tangent spaces. Subvarieties.

1) E. Abbena, A. Gray, . Salamon.: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica CRC Press, Third Edition (2006). 2) Christian Bär, Differential Geometry (Summer Term 2013-Geometry in Potsdam) Universität Potsdam (2013). 3) A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer (2012).
4) R.S: Milmann, G.D. Parker, Elements of differential Geometry, Prentice Hall, International Inc., London, 1977.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
The course intends to provide knowledge of the notions of differential geometry of curves and surfaces in Euclidean spaces and knowledge of the notion of the theory of differentiable manifolds that provide a framework in which to pursue the intrinsic study of surfaces begun in the part of the course devoted to the surfaces of an Euclidean space
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Students will be able to acquire a good knowledge and mastery of geometric, algebraic and differential methods for studying surface curves and differentiating varieties, and of the role of differential geometry in mathematics and other disciplines (eg computer graphics).
Abilità comunicative (communication skills):
At the end of the course, the student will be familiar with the topics discussed, to expose them in a clear and rigorous manner, and to be able to apply the results studied to specific examples.

knowledge of basic notions of calculus, algebra and geometry.

Classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

Written and oral examination at the end of the course.

Some solved exercises of past exams and homeworks may be found at http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=059207)

Differential Geometry of Curves (1,5 CFU-12 hours). Curves in the space. The length of a curve. Curvature of planes curves. Angel functions. Euclidean motions. Isometries of the plane. Intrinsic equations for plane curves. Plane curves in polar coordinates. Implicitly defined plane curves. . Evolutes, iterated evolutes, Involutes, osculating circle of a plane curve. A characterziation of Logarihmic spiral. Curves in the space. Curvature and torsion of unit speed curves. Arbitrary speed-curves. . Canonic form of a curve. Frenet-serret Equations. Frenet frame and its planes at a point of a regular curve., Other representation of curves in the space. Intrinsic equations of a curve in the space. Curves on a sphere. Helix.B-spline-curves (NURBS).
DIFFERENTIAL GEOMETRIES OF SURFACES (3,5 CFU-28 hours). Calculus on Euclidean Space. Patches in Rn. Regular surfaces. Tangent vectors and regular mappings. Level surfaces in R3. Metrics on a surface. Isometries between superficies. Area Non-orientable surfaces. . Shape operator and normal curvature. Gaussian and Mean Curvature. Weingarten Equations.. Asymptotic and principal curves. Uumbilics Points. Ruled sutraces. Surfaces of revolution and constant curvature. Intrinsic Geometry. Gauss’s Egregium Theorem. Equiareal functions: a Thorem of Archimede. Geodesics.

Differentiable Manifolds (3CFU- 24 hours) . The Definition of a Differentiable Manifold. Maps between manifolds. Smoot maps. Derivative of smooth maps. Tangent bundle. Vector fields as derivations. Tensor products.