ITALIANO

Il corso approfondirà la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, sviluppando i concetti già visti nei corsi della laurea triennale in Matematica. Inoltre, sarà dato ampio spazio alla teoria delle Trasformate di Fourier e Laplace in spazi di Lebesgue: saranno viste le implicazioni funzionali di questa teoria e le applicazioni alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali.

G.C. Barozzi, MATEMATICA PER L'INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE, ZANICHELLI.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, ANALISI MATEMATICA II, LIGUORI EDITORE.

Conoscenza e capacità di comprensione: Acquisire competenze negli strumenti per lo studio delle equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni alle derivate parziali, nonché nella teoria delle trasformate di Fourier e di Laplace e nelle loro applicazioni alla teoria delle equazioni differenziali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Saper utilizzare le trasformate di Fourier e di Laplace e gli strumenti analitici acquisiti per analizzare e risolvere equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Autonomia di giudizio: Sviluppare la capacità di individuare e scegliere i metodi più appropriati per lo studio e la risoluzione di problemi legati alle equazioni differenziali. Abilità comunicative: Saper esporre in modo chiaro e rigoroso i concetti fondamentali, le tecniche e i risultati relativi alle equazioni differenziali e alle trasformate. Capacità di apprendere: Consolidare le basi teoriche e metodologiche necessarie per approfondimenti successivi nell’ambito dell’analisi matematica e delle equazioni differenziali.

Analisi matematica III

Il corso è costituito da 64 ore di lezione frontale, il tutto svolto in aula.
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente incoraggiata.

Gli studenti partecipano attivamente, con autonomia di giudizio, esprimendo idee, formulando domande, presentando esempi.

L’esame prevede una prova orale. La valutazione è espressa in trentesimi:

Voto — Criteri di valutazione
30 - 30L — Eccellente capacità di risoluzione di problemi, piena padronanza dei metodi per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, e conoscenza approfondita delle trasformate e dei relativi teoremi.
26 - 29 — Ottima capacità analitica e corretta applicazione delle tecniche di risoluzione per equazioni differenziali e dell’uso delle trasformate di Fourier e Laplace.
22 - 25 — Buona conoscenza dei concetti di base e capacità di risolvere esercizi su equazioni differenziali e dimostrare proprietà delle trasformate.
18 - 21 — Conoscenza essenziale degli argomenti principali (equazioni differenziali e trasformate) e sufficiente capacità di applicazione delle tecniche di base.

Poiché questo è un corso opzionale della laurea magistrale in Matematica, il programma del corso è modificato per meglio adattarsi e estendere le conoscenze e competenze degli studenti frequentanti.

Equazioni differenziali ordinarie.
Il teorema delle contrazioni. Equazioni differenziali ordinarie: teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale. Il teorema di esistenza ed unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni.
Stabilità delle soluzioni. Esistenza ed unicità del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari.

Equazioni differenziali lineari.Equazioni di Bernoulli. Equazioni di Eulero. Equazioni a variabili separabili. Equazioni di Riccati. Equazioni in forma differenziale.

Trasformata di Laplace: definizione e prime proprietà. Olomorfia della Trasformata di Laplace. Trasformata di Laplace di funzioni periodiche. Trasformata di Laplace della derivata.
Teorema del valor finale. Trasformata di Laplace della convoluzione.
Inversione della Trasformata di Laplace. Applicazioni della Trasformata di Laplace.

Definizione di Trasformata di Fourier in L1. Prime proprietà. Calcolo di una trasformata: funzione caratteristica. Teorema di Riemann-Lebesgue. Suriettività della trasformata di Fourier su C_0.
Approssimanti dell'unità e loro trasformata: nuclei di Gauss-Weierstrass, nuclei di Abel, nuclei di Poisson.
Formula di inversione della trasformata di Fourier in L1. Relazione tra regolarità e decadimento di una funzione attraverso la trasformata di Fourier.
Trasformata di funzioni con decadimento esponenziale e a supporto compatto.
Spazi di Schwartz e trasformata di Fourier in spazi di Schwartz.
Trasformata di Fourier in L2: teorema di Plancherel.
Teorema di Carleson-Hunt. Teorema di inversione per funzioni regolari a tratti.
Principi di indeterminazione. Cenni di meccanica quantistica. Principio di indeterminazione di Heisenberg.
Disuguaglianza di Hardy. Attainers per disuguaglianze.
Trasformata di Fourier in Lp, 1≤p≤2. Teorema di Riesz-Thorin. Disuguaglianza di Haussdorf-Young. Disuguaglianza di Young.
Equazione del calore. Soluzione fondamentale attraverso la trasformata di Fourier. Soluzione del Problema di Cauchy con dato iniziale continuo a supporto compatto.
Proprietà dell'equazione del calore: direzione del tempo preferita, regolarizzazione delle soluzioni, velocità infinita di propagazione. Stime dispersive per l'evoluzione del calore.
Equazione di Laplace nel semipiano: soluzione esplicita attraverso la trasformata di Fourier. Equazione delle onde.
Equazione delle onde: soluzione esplicita in 1D attraverso la trasformata di Fourier. Velocità finita di propagazione, cono di influenza. Equazione di Schrödinger.
Equazione di Schrödinger: soluzione fondamentale. Relazione del propagatore con la trasformata di Fourier. Velocità infinita di propagazione. Reversibilità nel tempo.
Equazione di Schrödinger: dipendenza dal dato iniziale, stime di decadimento temporale. Spazi di Sobolev: caratterizzazione attraverso la trasformata di Fourier.
Spazi di Sobolev frazionari. Teorema di immersione nelle funzioni continue.
Distribuzioni temperate (richiami). Trasformata di Fourier per distribuzioni temperate, proprietà. Esempi: trasformata della delta di Dirac, sue derivate e polinomi. Trasformata di |x|^(-a), 0<a<n.

Italian

The course will be focused on the theory of ordinary differential equations, deepening the knowledge already seen in the courses of the degree in Mathematics. Also, the course will cover the theory of Laplace and Fourier transforms in Lebesgue spaces, with attention to the functional implications of this theory and the applications to the solution of ordinary and partial differential equations.

G.C. Barozzi, MATEMATICA PER L'INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE, ZANICHELLI.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, ANALISI MATEMATICA II, LIGUORI EDITORE.

Knowledge and understanding: Acquire competence in the tools for the study of ordinary differential equations and partial differential equations, as well as in the theory of Fourier and Laplace transforms and their applications to the theory of differential equations.

Applying knowledge and understanding: Be able to use Fourier and Laplace transforms and the acquired analytical tools to analyze and solve ordinary and partial differential equations.

Making judgements: Develop the ability to identify and select the most appropriate methods for the study and solution of problems related to differential equations.

Communication skills: Be able to present clearly and rigorously the fundamental concepts, techniques, and results concerning differential equations and transforms.

Learning skills: Consolidate the theoretical and methodological foundations necessary for further study in mathematical analysis and differential equations.

Analisi Matematica III

The course consists of 64 hours of in-person lectures, all held in the classroom.
Attendance is not mandatory but is strongly encouraged.

Students actively participate, demonstrating independent judgment by expressing ideas, asking questions, and presenting examples.

The exam consists of an oral test. The final mark is expressed on a scale of 30:

Grade — Evaluation criteria
30 - 30L — Excellent problem-solving ability, full mastery of methods for ordinary and partial differential equations, and in-depth knowledge of transforms and their related theorems.
26 - 29 — Very good analytical skills and correct application of solution techniques for differential equations, as well as proper use of Fourier and Laplace transforms.
22 - 25 — Good understanding of the basic concepts and ability to solve exercises on differential equations and to prove properties of transforms.
18 - 21 — Basic knowledge of the main topics (differential equations and transforms) and sufficient ability to apply fundamental techniques.

Since this course is an optional one in the master degree in mathematics, the program of the course is modified to better adapt to and extend the knowledge and skills of the attending students.

Ordinary differential equations.
The contractions theorem. Ordinary differential equations: Cauchy theorem of existence and local uniqueness. The existence and global uniqueness theorem. Extendability of solutions.
Stability of solutions. Existence and uniqueness of the Cauchy problem for linear differential equations.

Linear differential equations. Bernoulli equations. Euler equations. Equations with separable variables. Riccati equations. Equations in differential form.

Laplace transform: definition and first properties. Holomorphy of the Laplace Transform. Laplace transform of periodic functions. Laplace transform of the derivative.
Final value theorem. Laplace transform of the convolution.
Inversion of the Laplace Transform. Applications of the Laplace Transform.

Definition of Fourier Transform in L1. First properties. Calculation of a transform: characteristic function. Riemann-Lebesgue theorem. Surjectivity of the Fourier transform on C_0.
Approximators of unity and their transform: Gauss-Weierstrass nuclei, Abel nuclei, Poisson nuclei.
Fourier transform inversion formula in L1. Relationship between regularity and decay of a function through the Fourier transform.
Transform of functions with exponential decay and compact support.
Schwartz spaces and Fourier transform in Schwartz spaces.
Fourier transform in L2: Plancherel's theorem.
Carleson-Hunt theorem. Inversion theorem for piecewise regular functions.
Uncertainty principles. Notes on quantum mechanics. Heisenberg uncertainty principle.
Hardy inequality. Attainers for inequalities.
Fourier transform in Lp, 1≤p≤2. Riesz-Thorin theorem. Haussdorf-Young inequality. Young's inequality.
Heat equation. Fundamental solution through the Fourier transform. Solution of the Cauchy problem with continuous initial data with compact support.
Properties of the heat equation: preferred time direction, regularization of solutions, infinite speed of propagation. Dispersive estimates for heat evolution.
Laplace equation in the half-plane: explicit solution through the Fourier transform. Wave equation.
Wave equation: explicit solution in 1D through the Fourier transform. Finite velocity of propagation, cone of influence. Schrödinger equation.
Schrödinger equation: fundamental solution. Relation of the propagator to the Fourier transform. Infinite speed of propagation. Reversibility over time.
Schrödinger equation: dependence on the initial data, estimates of time decay. Sobolev spaces: characterization through the Fourier transform.
Fractional Sobolev spaces. Immersion theorem in continuous functions.
Temperate distributions (recalls). Fourier transform for tempered distributions, properties. Examples: Dirac delta transform, its derivatives and polynomials. Transform of |x|^(-a), 0<a<n.