Italiano

Il corso si interessa all'analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali e agli strumenti e fenomeni matematici ad esse legati.

Evans "Partial Differential Equations"

Al termine del corso, lo studente avrà una panoramica introduttiva alle equazioni differenziali alle derivate parziali, sapendo quindi orientarsi nello studio di queste. Inoltre, possederà alcuni degli strumenti analitici principali per risolverle o poter dare una descrizione qualitativa delle soluzioni.

È necessaria la conoscenza del calcolo differenziale per funzioni di una e più variabili (differenziali, integrali, integrali superficiali) e la conoscenza della teoria della misura elementare (spazi di Lebesgue).

Lezioni frontali.

Esame orale.

Definizione di problema ben posto. Classificazione delle equazioni di secondo ordine in ellittiche, iperboliche e paraboliche.

Equazione del trasporto. Metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto.
Metodo delle caratteristiche per equazioni del primo ordine non lineari. Equazione di Burgers.

Equazione del calore, soluzioni auto-similari per l'equazione del calore, soluzione fondamentale. Esistenza di soluzioni classiche. Esistenza di soluzioni per dati iniziali in spazi di Lebesgue.
Teorema di Weierstrass: approssimazione di funzioni continue con polinomi grazie all'equazione del calore. Equazione del calore non omogenea: principio di Duhamel. Esempio di Tychonoff di non unicità di soluzioni classiche. Principio del massimo (debole) per l'equazione del calore. Solo enunciati: proprietà del valor medio
per l'equazione del calore, principio del massimo (forte) per l'equazione del calore. Unicità della soluzione del problema di Cauchy su domini limitati. Principio del massimo per il
problema di Cauchy per l'equazione del calore in R^n, unicità per soluzioni classiche dell'equazione del calore.
Soluzioni di Barenblatt per l'equazione dei mezzi porosi.

Equazione delle onde. Energia e sua propagazione. Unicità per soluzioni classiche del problema di Cauchy. Equazione delle onde in 1D, formula di D'Alembert. Equazione delle onde in 3D: metodo delle medie sferiche. Equazione delle onde in 3D: formula di Kirchhoff. Equazione delle onde in 2D: formula di Poisson. Dipendenza continua rispetto al dato per l'equazione delle onde. Equipartizione dell'energia.

Soluzioni onde piane di PDE. Equazioni dispersive: definizioni ed esempi. Trasformata di Fourier. Risoluzione dell'equazione del calore con la trasformata di Fourier. Equazione di Schrödinger. Risoluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger con la trasformata di Fourier. Problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger in spazi di Lebesgue. Velocità infinita di propagazione.

Metodo di separazione delle variabili. Equazioni del calore, onde e Schrödinger su un dominio. Autofunzioni del laplaciano. Applicazione alle oscillazioni di una membrana.

Italian

The course focuses on the analysis of partial differential equations and the mathematical tools and phenomena related to them.

Evans "Partial Differential Equations"

At the end of the course, the student will have an introductory overview on partial differential equations, enabling them to navigate the study of these equations. Additionally, they will possess some of the main analytical tools to solve them or provide a qualitative description of their solutions.

Knowledge of differential calculus for functions of one and multiple variables (differentials, integrals, surface integrals) and elementary measure theory (Lebesgue spaces) is required.

Lesson in class.

Oral exam.

Definition of a well-posed problem. Classification of second-order equations into elliptic, hyperbolic, and parabolic.

Transport equation. Method of characteristics for the transport equation.
Method of characteristics for nonlinear first-order equations. Burgers' equation.

Heat equation, self-similar solutions for the heat equation, fundamental solution.
Existence of classical solutions. Existence of solutions for initial data in Lebesgue spaces.
Weierstrass theorem: approximation of continuous functions with polynomials via the heat equation. Non-homogeneous heat equation: Duhamel's principle. Tychonoff's example of non-uniqueness of classical solutions. Weak maximum principle for the heat equation. Statements only: mean value property for the heat equation, strong maximum principle for the heat equation. Uniqueness of the solution to the Cauchy problem on bounded domains. Maximum principle for the Cauchy problem for the heat equation in R^n, uniqueness of classical solutions to the heat equation.
Barenblatt solutions for the porous medium equation.

Wave equation. Energy and its propagation.
Uniqueness of classical solutions to the Cauchy problem.
Wave equation in 1D: D'Alembert's formula.
Wave equation in 3D: spherical means method.
Wave equation in 3D: Kirchhoff's formula.
Wave equation in 2D: Poisson's formula.
Continuous dependence on initial data for the wave equation.
Energy equipartition.

Plane wave solutions of PDEs. Dispersive equations: definitions and examples.
Fourier transform.
Solving the heat equation with the Fourier transform.
Schrödinger equation.
Solving the Cauchy problem for the Schrödinger equation with the Fourier transform.
Cauchy problem for the Schrödinger equation in Lebesgue spaces.
Infinite propagation speed.

Method of separation of variables. Heat, wave, and Schrödinger equations on a domain.
Eigenfunctions of the Laplacian.
Application to membrane oscillations.