INGLESE

Programma sintetico

- Il linguaggio matematico e concetti preliminari

- Insiemi numerici – Funzioni

- Successioni e serie numeriche

- Funzioni di una variabile reale a valori reali

- Limiti di una funzione reale di una variabile reale, e continuità

- Calcolo differenziale

- Calcolo integrale


Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti trattati.

Alla fine del corso, sarà pubblicato qui il programma dettagliato.

• M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
• M. Spivak, Calculus, fourth edition.
Publish or perish Inc.
• J. Stewart, Calculus eight edition. Cengage learning.

• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). Zanichelli Editor, 2004.

Per esercizi:
• M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
• J. STEWART, Calculus (8th edition), Cengage Learning, 2015.
• S. Salsa, Squellati Esercizi di analisi Matematica, volume 1.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume 1, part one and part two.

Conoscenza e capacità di comprensione: Apprendere il linguaggio della logica matematica e gli strumenti classici dell’analisi (limiti, derivate, integrali). Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Saper formalizzare e risolvere semplici problemi differenziali e integrali per funzioni di una o due variabili. Autonomia di giudizio: Sviluppare la capacità di scegliere le tecniche analitiche più adatte per lo studio di semplici problemi di analisi per funzioni di una o due variabili.
Abilità comunicative: Saper enunciare definizioni e teoremi con rigore logico e precisione formale.
Capacità di apprendere: Acquisire basi solide per affrontare insegnamenti successivi come probabilità, statistica e data mining.

Non ci sono propedeuticità al corso

Il corso è articolato in 56 ore di lezione frontali e 16 ore di esercitazioni, il tutto svolto in aula.
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente incoraggiata.


Gli studenti partecipano attivamente, con autonomia di giudizio, esprimendo idee, formulando domande, presentando esempi.
Agli studenti sono anche suggeriti alcuni libri di testo, funzionali all’approfondimento di quanto appreso in aula e allo sviluppo di autonome capacità di apprendimento. Sono anche previste attività di tutoraggio a supporto della didattica.

L’esame prevede una prova scritta (esercizi senza calcolatrice, teoria, definizioni e teoremi). La valutazione è in trentesimi:
Voto Criteri di Valutazione
30 - 30L Eccellente capacità di risoluzione problemi e padronanza assoluta dei teoremi e delle dimostrazioni.
26 - 29 Ottima capacità analitica e corretta applicazione delle regole di derivazione e integrazione.
22 - 25 Buona conoscenza dei concetti base e capacità di svolgere lo studio di funzione.
18 - 21 Conoscenza minima dei limiti e delle derivate fondamentali; sufficiente capacità di calcolo. A partire dalla coorte 2025/26 e come stabilito dal regolamento didattico coloro che non superano l'esame in un appello non saranno ammessi a sostenere l'esame nell'appello immediatamente successivo.

Le tracce delle prove scritte d’esame, ed eventuale ulteriore materiale didattico, sono reperibili sulla pagina TEAMS del corso.
Alla fine del corso, nella pagina moodle del TEAMS del corso sarà pubblicato il programma dettagliato.

Il linguaggio matematico e concetti preliminari - Quantificatori. Terminologia. Formule e indici: sommatorie e loro proprietà formali, fattoriale.
Insiemi numerici – Funzioni - Numeri naturali. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Numeri reali. Numeri complessi.
Massimo e minimo. Estremo superiore e estremo superiore.
Il valore assoluto e le sue proprietà. Insiemi limitati.
Equazioni e disequazioni numeriche di primo e secondo grado. Sistemi di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Polinomi: principio di identità, divisione tra polinomi.
Funzioni. Rappresentazione a frecce, e grafico cartesiano.

Successioni e serie numeriche – Successioni convergenti. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite. Limitatezza delle successioni convergenti. Successioni divergenti. Successioni regolari.
Operazioni sui limiti e forme indeterminate.
Successioni monotone e loro regolarità. Il numero e. Gerarchia degli infiniti.
Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e relativi controesempi. Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata.
Serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto.
Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz. Assoluta convergenza e sue proprietà.

Funzioni di una variabile reale a valori reali – Rappresentazione cartesiana. Funzioni iniettive, funzioni suriettive e funzioni invertibili. Funzioni lineari. Immagine e anti-immagine. Funzioni monotone. Monotonia delle inverse di funzioni monotone. Funzioni pari, funzioni dispari e funzioni periodiche. Funzioni composte. Massimo, minimo. Funzioni elementari: funzione lineare, funzione polinomio di secondo grado, funzione potenza, funzione radice, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni seno, coseno, tangente e arcotangente. Ricerca del dominio di una funzione dotata di espressione elementare.

Limiti di una funzione reale di una variabile reale, e continuità – Intorni di un punto. Definizione di limite, Limite destro e limite sinistro. Funzioni composte. Limiti notevoli.
Funzioni continue e loro proprietà: somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue. Continuità di sin x, cos x, |x|.
Limiti delle funzioni composte. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni elementari.
Calcolo differenziale - Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto e del rapporto. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore.
Punti di massimo e punti di minimo relativo.
Caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla in un intervallo.
Funzioni concave e funzioni convesse. Punti di flesso.
Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy de l'Hopital e applicazioni.
Calcolo dei limiti in forma indeterminata. Condizioni sufficienti per gli estremi locali.
La formula di Taylor con il resto nella forma di Peano.
Asintoti. Grafici di funzioni.
Calcolo integrale - Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà dell’integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali.
Integrale definiti. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
I principali teoremi.
Integrali impropri (generalizzati).

Calcolo differenziale per funzioni di due variabili: derivate parziali, piano tangente e differenziabilità; classificazione dei punti critici con l'uso della matrice Hessiana, moltiplicatori di Lagrange.

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti trattati.

Alla fine del corso, il programma dettagliato sarà pubblicato nella pagina e-learning del corso.

English

Synthetic syllabus

- Mathematical language and preliminary concepts
- Numerical sets - Functions
- Numerical sequences and series
- Real-valued function of a real variable
- Limits of a real function of a real variable, and continuity
- Differential calculus
- Integral calculus

Exercises on each of the above mentioned topic are an integral part of the program.

At the end of the course, the detailed program will be published in this page.

• M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
• M. Spivak, Calculus, fourth edition.
Publish or perish Inc.
• J. Stewart, Calculus eight edition. Cengage learning.

• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). Zanichelli Editor, 2004.

Exercises:
• M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
• J. STEWART, Calculus (8th edition), Cengage Learning, 2015.
• S. Salsa, Squellati Esercizi di analisi Matematica, volume 1.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume 1, part one and part two.

Knowledge and understanding: Mastering mathematical logic and classical analysis tools (limits, derivatives, integrals).
Applying knowledge and understanding: Formalizing and solving simple differential or integral problems for functions depending on one or two variables.
Making judgements: Developing the ability to select the most appropriate analytical techniques for studying simple analytical problems.
Communication skills: Stating definitions and theorems with logical rigor and formal precision.
Learning skills: Building the solid foundations required for subsequent courses such as probability, statistics, and data mining.

No prerequisites required

The course is subdivided in 56 hours of lessons in class and 16 hours of exercises in class. The presence at the lessons is not mandatory, nevertheless attending classes is a crucial advantage in the learning.
Students actively participate, with autonomy of judgment, exposing ideas, formulating questions, presenting examples. The students are also suggested some textbooks, which are useful in studying what they learn during classes and in developing autonomous learning skills. The teaching will be also supported by tutoring activities.

The assessment includes a written test (exercises, no calculator allowed, theory, definitions, and theorems). Grading is on a 30-point scale: Grade Assessment Criteria
30 - 30L Outstanding problem-solving skills and absolute mastery of theorems and proofs.
26 - 29 Excellent analytical skills and correct application of derivation and integration rules.
22 - 25 Good understanding of core concepts and ability to perform full function studies.
18 - 21 Minimal knowledge of limits and fundamental derivatives; sufficient calculation skills. Starting with the 2025/26 academic cohort, students who do not pass an exam in a given exam sitting will not be admitted to the immediately subsequent sitting.

The exercises of the written tests, and any additional teaching material, can be found on the TEAMS platform of the course.
At the end of the course, the detailed syllabus will be uploaded on the moodle platform of the TEAMS.

Mathematical language and preliminary concepts - Quantifiers. Terminology. Logic. Formulas and indices: summation and their formal properties, factorial.

Numerical sets - Functions - Natural numbers. Relative integer numbers. Rational numbers. Real numbers.
Maximum and minimum.
The absolute value and its properties. Bounded sets.
First and second degree numerical equations and inequalities. Systems of equations and inequalities of first and second degree.
Polynomials: identity principle, polynomial division.
Functions. Arrow, Cartesian graph representation.
Numerical sequences and series - Convergent sequences. Definition of limit. Uniqueness of the limit. Boundedness of convergent sequences. Divergent sequences. Regular sequences.
Operations with limits and indeterminate forms.
Monotonic sequences and their regularity.
The number e.
Hierarchy of infinities.
Numerical series. Definitions and first properties. Necessary condition for the convergence of a series and relative counter-examples. Geometric series, harmonic series and general harmonic series. Remainder series. Series with non-negative terms: the ratio test, the radical test, the comparison test. Alternating series: the Leibnitz test.
Absolute convergence and its properties.

Real-valued function of a real variable - Cartesian representation. One-to-one functions, onto functions and invertible functions. Linear functions. Image and pre-image. Monotone functions.
Even functions, odd functions and periodic functions. Composed functions.
Maximum, minimum. Elementary functions: linear functions, second degree polynomial functions, power functions, radical functions, exponential functions, logarithm functions, trigonometric sine, cosine, tangent, arctangent. Equations and inequalities. Domain of a function with elementary expression.

Limits of a real function of a real variable, and continuity – Definition of a limit Right limit and left limit. Composed functions. Notable limits. Continuous functions and their properties: sum, product, ratio and composition of continuous functions. Continuity of sin x, cos x, | x |. Limits of composed functions. Indefinite forms. Limits of elementary functions. Special limits.
The main theorems.

Differential calculus - Definition of derivative and its geometric interpretation. Differentiation rules: derivative of the sum, of the product and of the relationship. Differentiability and continuity. Derivatives of elementary functions. Higher order derivatives.
Relative and absolute maxima and minima. Characterization of a function with zero derivative on an interval.
Concave functions and convex functions. Inflexion points.
Main theorems and applications. Limits in indeterminate forms.
Sufficient conditions for local extrema. Taylor's formula with the remainder in Peano form. Asymptotes. Graphs of functions.

Integral calculus - Primitive of a function. Indefinite integral. Property of the indefinite integral. Indefinite integration rules: integration by parts, integration by substitution. Integration of rational functions.
Definite integral. The fundamental theorem of calculus.
Main theorems and applications. Improper (generalized) integrals.

Differential Calculus for functions of two variables: partial derivatives, tangent plane and differentiability; classification of critical points through the study of the Hessian matrix, Lagrange multipliers.

Exercises on each of the above mentioned topic are an integral part of the program.