ITALIANO

- Sistemi aritmetici floating-point ed errore di roundoff.
- Algebra lineare numerica: calcolo matriciale, metodi diretti e metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
- Risoluzione numerica di equazioni non lineari.
- Risoluzione numerica di problemi di Cauchy.
- Utilizzo / implementazione di routine MATLAB per la risoluzione dei suddetti problemi.

- A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2017, ISBN: 978-88-470-3953-7 (Italiano)

- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-470-5644-2 (Italiano)

- A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-3-642-45367-0 (English)

- Conoscenza e capacità di comprensione: al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito metodi e strumenti di base della matematica numerica, con particolare riferimento ai metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, alla risoluzione di equazioni non lineari, alla risoluzione di problemi di Cauchy.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di applicare algoritmi numerici basilari per la risoluzione di sistemi di sistemi lineari e di equazioni non lineari e per risoluzione di problemi di Cauchy.
- Abilità comunicative: al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di utilizzare un linguaggio tecnico-scientifico adeguato alle tematiche del calcolo numerico.

Analisi Matematica, Algebra Lineare e Geometria Analitica. È preferibile aver acquisito le conoscenze fornite dall'insegnamento di Elementi di Programmazione.

Le 48 ore di lezione saranno erogate frontalmente.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

La verifica dell'apprendimento consiste di norma in una prova orale in cui si richiederà allo studente di testare e commentare (dal punto di vista teorico e pratico) i metodi usati e/o sviluppati durante il semestre. In alternativa è possibile presentare un elaborato, concordato con il docente, su argomenti inerenti alle tematiche dell’insegnamento.
Si prevede l’utilizzo di un PC per lo svolgimento della prova orale.
Lo scopo è quello di dimostrare comprensione dei metodi e capacità di effettuare sperimentazioni numeriche e interpretarne i risultati.

Programma indicativo dell’insegnamento, quello definitivo sarà reso disponibile una volta esaurite le ore di lezione.

1) Utilizzo del calcolatore nel Calcolo Numerico ed elementi di programmazione in MATLAB:
Aritmetica finita di un calcolatore; rappresentazione floating-point dei numeri reali; epsilon macchina; problemi legati all'uso dell'aritmetica floating-point; i diversi tipi di errore nel processo computazionale; costo computazionale di un algoritmo. Il sistema MATLAB: tipi di dati e operatori; il linguaggio MATLAB e le principali funzioni di utilità; programmare in MATLAB: script files e function files; la grafica in MATLAB.

2) Soluzione di sistemi lineari.
- Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss; pivoting per righe; pivoting totale; metodo delle sostituzioni in avanti e all'indietro; fattorizzazione LU di una matrice; condizioni per l'esistenza e l'unicità della fattorizzazione LU; fattorizzazione di Cholesky; stabilità di un sistema lineare e numero di condizionamento di una matrice; accuratezza della soluzione di un sistema lineare al calcolatore; calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice tramite fattorizzazione LU.
- Metodi iterativi: costruzione di un generico metodo iterativo; criteri d'arresto per schemi iterativi; metodi di Jacobi e Gauss-Seidel; metodi del gradiente e del gradiente coniugato.

3) Calcolo di zeri di equazioni e sistemi non lineari. Metodo di bisezione; metodi di Newton; metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari.

4) Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy: richiamo dei principali risultati di esistenza e unicità della soluzione; schemi numerici a un passo: Eulero in avanti ed Eulero all'indietro; schemi espliciti e impliciti; accuratezza, consistenza e convergenza; zero-stabilità; assoluta stabilità, regioni di assoluta stabilità; metodi di Runge-Kutta.

Italian

- Floating-point arithmetic systems and roundoff error.
- Numerical linear algebra: matrix calculus, direct methods and iterative methods for solving linear systems.
- Numerical solution of nonlinear equations.
- Numerical solution of Cauchy problems.
- Use/implementation of MATLAB routines for the solution of the above problems.

- A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2017, ISBN: 978-88-470-3953-7 (Italiano)

- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-470-5644-2 (Italiano)

- A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-3-642-45367-0 (English)

- Knowledge and ability to understand: at the end of the course the student should have acquired basic methods and tools of numerical mathematics, with particular reference to numerical methods for solving systems of linear equations, nonlinear equations, and Cauchy problems.
- Ability to apply knowledge and understanding: at the end of the course the student should be able to apply basic numerical algorithms for solving systems of linear and nonlinear equations and for solving Cauchy problems.
- Communication skills: at the end of the course the student should be able to use technical and scientific language appropriate to the topics of numerical calculus.

Mathematical Analysis, Linear Algebra and Analytic Geometry. It is preferable to have acquired the knowledge provided by the Elements of Programming course.

The 48 hours of class will be delivered face-to-face.
Attendance is not mandatory, but strongly suggested.

The exam usually consists of an oral test in which the student will be asked to test and comment (from a theoretical and practical point of view) on the methods used and/or developed during the semester. Alternatively, it is possible to submit a paper, agreed with the lecturer, on topics related to the themes of the course.
A PC is expected to be used for the oral examination.
The purpose is to demonstrate understanding of the methods and ability to carry out numerical experiments and interpret the results.

Indicative teaching schedule, the final one will be made available once the class hours are exhausted.

1) Numerical Computing basics and elements of programming in MATLAB:
Finite arithmetic of a computer; floating-point representation of real numbers; machine epsilon; problems related to the use of floating-point arithmetic; the different types of error in the computational process; computational cost of an algorithm. The MATLAB system: data types and operators; the MATLAB language and major utility functions; programming in MATLAB: script files and function files; graphics in MATLAB.

2) Solution of linear systems.
- Direct methods: Gauss elimination method; pivoting by rows; total pivoting; method of forward and backward substitutions; LU factorization of a matrix; conditions for existence and uniqueness of LU factorization; Cholesky factorization; stability of a linear system and conditioning number of a matrix; accuracy of solving a linear system at the computer; calculation of the determinant and inverse of a matrix by LU factorization.
- Iterative methods: construction of a generic iterative method; stopping criteria for iterative schemes; Jacobi and Gauss-Seidel methods; gradient and conjugate gradient methods.

3) Computation of zeros of nonlinear equations and systems. Bisection method; Newton's methods; Newton's method for systems of nonlinear equations.

4) Ordinary differential equations. Cauchy's problem: recall of the main results of existence and uniqueness of solution; one-step numerical schemes: forward Euler and backward Euler; explicit and implicit schemes; accuracy, consistency and convergence; zero-stability; absolute stability, regions of absolute stability; Runge-Kutta methods.