ITALIANO

Nozioni di base del Calcolo numerico. Risoluzione di sistemi lineari. Approssimazione, interpolazione, risoluzione di F(x)=0.

Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio. Matematica Numerica, Springer

Il corso si propone di fornire le nozioni di base per il trattamento, la modellizzazione e l'analisi di dati numerici.

Il corso di Calcolo Numerico utilizzerà nozioni di Analisi matematica e Algebra Lineare trattati nei corsi di Analisi 1, Analisi 2, Geometria

Lezioni in aula ed esercitazioni in laboratorio

colloquio e discussione dei codici matlab elaborati durante il corso

I fondamenti della matematica numerica. Buona posizione e numero di condizionamento di un
Problema. Stabilità di metodi numerici.
Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti. Analisi di stabilità per sistemi lineari,
condizionamento di una matrice. Analisi a priori in avanti.
Analisi a posteriori (cenni). Risoluzione di sistemi triangolari. Aspetti implementativi dei
metodi delle sostituzioni. Il metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazione LU.
Cenni alle tecniche di pivoting. Calcolo dell’inversa.
Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi. Convergenza di metodi iterativi. I metodi di
Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento. Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di
Gauss-Seidel. Risultati di convergenza.
Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari. Il metodo di bisezione
I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton. Il metodo delle iterazioni di punto fisso.
Risultati di convergenza. Il metodo di Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non
lineari.
Interpolazione polinomiale. Interpolazione polinomiale di Lagrange. L’errore di interpolazione
Limiti dell’interpolazione polinomiale su nodi equispaziati e controesempio di Runge. Forma di
Newton del polinomio interpolatore. Formule composite. Interpolazione mediante spline. Calcolo
della spline naturale.
Programmazione Lineare. Definizione del problema, condizioni di ottimalità. Parametri di
Lagrange. Risoluzione di problemi di PL con il solutore di Excel.
Quadratura numerica. Formule di quadratura interpolatorie . La formula del punto medio o del
rettangolo. La formula del trapezio. La formula di Cavalieri-Simpson. Formule composite.
Codici Matlab da portare all’esame: Jacobi e GaussSiedel con rilassamento, Risolutore di sistemi
triangolari, LU (con pivoting: facoltativo), metodi per f(x)=0 (caso scalare e caso vettoriale),
formule di quadratura composite, calcolo spline, calcolo polinomio interpolante.
I codici
dovranno avere documentazione interna, essere corredati da problemi test significativi.
Confronti fra algoritmi alternativi per uno stesso problema.

Italian

Basics of numerical Analysis. Solving linear systems. Approximation, interpolation, resolution of F(x)=0.

Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio. Matematica Numerica, Springer

The course aims to provide the basic notions for the treatment, modeling and analysis of numerical data.

The course of Calcolo Numerico makes use of the basic notions of Calculus and linear algebra studied in the courses of Analisi 1, Analisi 2, Geometria

Classroom lessons and laboratory exercises

oral examination and discussion of the matlab codes produced during the course.

Thebasics of numerical mathematics. Well posedness and conditionin number of a
Problem. Stability of numerical methods.
Solving linear systems with direct methods. Stability analysis for linear systems,
conditioning of a matrix. A priori forward analysis.
A posteriori analysis (outlines). Solving triangular systems. Implementation aspects of
substitution methods. The Gaussian Elimination Method (GEM) and LU factorization.
Notes on pivoting techniques. Calculation of the inverse.
Solving linear systems with iterative methods. Convergence of iterative methods. The methods of
Jacobi, Gauss-Seidel and relaxation. Convergence results for the Jacobi and
Gauss-Seidel methods.
Solving nonlinear equations and systems. The bisection method.
Secant, Regula Falsi and Newton methods. The fixed point iteration method.
Convergence results. Newton's method for solving systems of non-linear equations.
Polynomial interpolation. Lagrange polynomial interpolation. The interpolation error
Limits of polynomial interpolation on equally spaced nodes and Runge's counterexample. Shape of
Newton's interpolator polynomial. Composite formulas. Interpolation using splines. Calculation
of the natural spline.
Linear Programming. Problem definition, optimality conditions. Parameters of
Lagrange. Solving PL problems with the Excel solver.
Numerical quadrature. Interpolatory quadrature formulas. The midpoint and frectangle formulas.
The trapezoid formula. The Cavalieri-Simpson formula. Composite formulas.
Matlab codes to bring to the exam: Jacobi and GaussSiedel with relaxation, Systems solver
triangular, LU (with pivoting: optional), methods for f(x)=0 (scalar case and vector case),
composite quadrature formulas, spline calculation, interpolating polynomial calculation.
The codes
they must have internal documentation, be accompanied by significant test problems.
Comparisons between alternative algorithms for the same problem.